【数学B】統計的な推測07：仮説検定

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

1の目が出る確率は1/6ではないと判断してよい？

仮説検定とは？

得られたデータを元に仮説を立て、その妥当性を判定する統計手法を仮説検定といいます。

例題1では、「このさいころは1の目が出る確率が \(\frac{1}{6}\) ではない」という仮説が正しいかどうかを、180回投げた結果から判断します。

対立仮説と帰無仮説

統計的に正しいか否かを判断したい仮説を対立仮説 \(H_1\)といい、それを否定する仮説を帰無仮説 \(H_0\)といいます。

例題1では、対立仮説 \(H_1\)は「1の目が出る確率は \(\frac{1}{6}\) ではない」です。

帰無仮説 \(H_0\)は「1の目が出る確率は \(\frac{1}{6}\) である」です。

仮説検定では、帰無仮説 \(H_0\) が正しいと仮定して、観測した結果がどのくらいの確率で起こるかを調べます。

その確率がとても小さければ、「\(H_0\) が正しいとすると、めったに起こらないことが起きている」と考えて、\(H_0\) を捨てます。

これを、\(H_0\) を棄却するといいます。

有意水準

「めったに起こらない」といえる基準となる確率を有意水準といいます。

つまり、有意水準とは偶然とは考えにくいと判断する基準となる確率のことです。

有意水準は普通0.05（5%）とし、慎重に判断したい場合には0.01（1%）とすることが多いです。

棄却域とは？

帰無仮説 \(H_0\) が棄却される \(Z\) の値の範囲を棄却域といいます。

標準正規分布では、\(P(-1.96\leq Z\leq 1.96)\approx 0.95\) なので、\(Z\) が \(-1.96\) より小さいか \(1.96\) より大きくなる確率は、両側合わせて約5%です。

よって、有意水準5%の棄却域は、　\(Z\leq -1.96,\ 1.96\leq Z\)　となります。

例題1では、1の目が出る確率が \(\frac{1}{6}\) より大きい場合も小さい場合も「\(\frac{1}{6}\) ではない」ので、棄却域を分布の両側にとります。

このように、棄却域を分布の両側に設定する検定を両側検定、片側だけに設定する検定を片側検定といいます。

片側検定は、この記事の後半でくわしく扱います。

両側検定で判断しよう

[1][2] 仮説を立てる

対立仮説 \(H_1\)：「1の目が出る確率は \(\frac{1}{6}\) ではない」

帰無仮説 \(H_0\)：「1の目が出る確率は \(\frac{1}{6}\) である」

[3] 棄却域を決める

有意水準5%の両側検定なので、棄却域は　\(Z\leq -1.96,\ 1.96\leq Z\)　です。

[4] Zの値を求める

仮説 \(H_0\) のもとでは、1の目が出る回数 \(X\) は二項分布 \(B\left(180,\ \frac{1}{6}\right)\) に従います。

平均は　\(E(X)=180\times\frac{1}{6}=\color{#8E44AD}{30}\)

標準偏差は　\(\sigma(X)=\sqrt{180\times\frac{1}{6}\times\frac{5}{6}}=\color{#F39800}{5}\)

180は十分大きいので、\(X\) は近似的に正規分布 \(N(\color{#8E44AD}{30},\ \color{#F39800}{5}^2)\) に従います。

標準化するために、平均30を引いて、標準偏差5で割ります。

\(Z=\frac{X-\color{#8E44AD}{30}}{\color{#F39800}{5}}\)

\(X=42\) のとき、　\(Z=\frac{42-30}{5}=\color{#EE4656}{2.4}\)　です。

[5] 判断する

\(Z=\color{#EE4656}{2.4}\) は棄却域 \(1.96\leq Z\) に入るので、帰無仮説 \(H_0\) は棄却されます。

したがって、対立仮説 \(H_1\) が妥当と判断でき、このさいころは1の目が出る確率が \(\frac{1}{6}\) ではないと判断してよいことになります。

片側検定で判断しよう

仮説の向きと棄却域

男子の出生率を \(p\) とすると、判断したいのは「男子の出生率は女子よりも高い」、つまり \(p>\frac{1}{2}\) です。

対立仮説 \(H_1\)：\(p>\frac{1}{2}\)　帰無仮説 \(H_0\)：\(p=\frac{1}{2}\)

例題1では、確率が \(\frac{1}{6}\) より大きくても小さくても「\(\frac{1}{6}\) ではない」ので、棄却域を両側にとりました。

例題2は「高い」かどうかだけを調べたいので、男子の人数が多すぎる側、つまり分布の右側だけに棄却域をとります。

これが片側検定です。

有意水準5%の片側検定では、5%をすべて右側に集めます。

標準正規分布では \(P(Z\geq 1.64)\approx 0.05\) なので、棄却域は次のようになります。

\(Z\geq 1.64\)

例題2を解こう

[1][2] の仮説は上で立てたとおりで、[3] の棄却域は \(Z\geq 1.64\) です。

[4] 仮説 \(H_0\) のもとでは、男子の出生人数 \(X\) は二項分布 \(B\left(100,\ \frac{1}{2}\right)\) に従います。

\(E(X)=100\times\frac{1}{2}=\color{#8E44AD}{50}\)　\(\sigma(X)=\sqrt{100\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}}=\color{#F39800}{5}\)

100は十分大きいので、\(X\) は近似的に正規分布 \(N(\color{#8E44AD}{50},\ \color{#F39800}{5}^2)\) に従います。

\(Z=\frac{X-\color{#8E44AD}{50}}{\color{#F39800}{5}}\) とおくと、\(X=57\) のとき　\(Z=\frac{57-50}{5}=\color{#EE4656}{1.4}\)　です。

[5] \(Z=\color{#EE4656}{1.4}\) は棄却域 \(Z\geq 1.64\) に入らないので、帰無仮説 \(H_0\) は棄却されません。

したがって、男子の出生率は女子の出生率よりも高いとは判断できません。

両側検定と片側検定の使い分け

対立仮説が「〜ではない」のように、大きい場合も小さい場合も考えるときは両側検定を使います。

対立仮説が「〜より高い（大きい）」のように、一方の向きだけを考えるときは片側検定を使います。

練習問題

答えを見る

Bの方がおいしいと回答する確率を \(p\) とする。

対立仮説 \(H_1\)を「\(p\neq\frac{1}{2}\)」、帰無仮説 \(H_0\)を「\(p=\frac{1}{2}\)」とする。

Bの方がおいしいと回答する人数を \(X\) とする。

仮説 \(H_0\) のもとで、\(X\) は二項分布 \(B\left(400,\ \frac{1}{2}\right)\) に従う。

\(E(X)=400\times\frac{1}{2}=\color{#8E44AD}{200}\)　\(\sigma(X)=\sqrt{400\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}}=\color{#F39800}{10}\)

400は十分大きいから、\(X\) は近似的に正規分布 \(N(\color{#8E44AD}{200},\ \color{#F39800}{10}^2)\) に従う。

よって、\(Z=\frac{X-\color{#8E44AD}{200}}{\color{#F39800}{10}}\) は近似的に標準正規分布 \(N(0,\ 1)\) に従う。

有意水準5%の棄却域は　\(Z\leq -1.96,\ 1.96\leq Z\)

\(X=215\) のとき　\(Z=\frac{215-200}{10}=\color{#EE4656}{1.5}\)　であり、これは棄却域に入らないから、帰無仮説 \(H_0\) は棄却されない。

つまり、ケーキBの方がおいしいと評価されるとは判断できない。

答えを見る

表が出る確率を \(p\) とする。

対立仮説 \(H_1\)を「\(p\neq\frac{1}{2}\)」、帰無仮説 \(H_0\)を「\(p=\frac{1}{2}\)」とする。

表が出る回数を \(X\) とする。

仮説 \(H_0\) のもとで、\(X\) は二項分布 \(B\left(400,\ \frac{1}{2}\right)\) に従う。

\(E(X)=400\times\frac{1}{2}=\color{#8E44AD}{200}\)　\(\sigma(X)=\sqrt{400\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}}=\color{#F39800}{10}\)

400は十分大きいから、\(X\) は近似的に正規分布 \(N(\color{#8E44AD}{200},\ \color{#F39800}{10}^2)\) に従う。

よって、\(Z=\frac{X-\color{#8E44AD}{200}}{\color{#F39800}{10}}\) は近似的に標準正規分布 \(N(0,\ 1)\) に従う。

有意水準5%の棄却域は　\(Z\leq -1.96,\ 1.96\leq Z\)

\(X=184\) のとき　\(Z=\frac{184-200}{10}=\color{#EE4656}{-1.6}\)　であり、これは棄却域に入らないから、帰無仮説 \(H_0\) は棄却されない。

つまり、表と裏の出やすさにかたよりがあるとは判断できない。

答えを見る

新しい種子の発芽率を \(p\) とする。

対立仮説 \(H_1\)を「\(p>0.6\)」、帰無仮説 \(H_0\)を「\(p=0.6\)」とする。

仮説 \(H_0\) のもとで、発芽する個数 \(X\) は二項分布 \(B(150,\ 0.6)\) に従う。

\(E(X)=150\times 0.6=\color{#8E44AD}{90}\)　\(\sigma(X)=\sqrt{150\times 0.6\times 0.4}=\color{#F39800}{6}\)

150は十分大きいから、\(X\) は近似的に正規分布 \(N(\color{#8E44AD}{90},\ \color{#F39800}{6}^2)\) に従う。

よって、\(Z=\frac{X-\color{#8E44AD}{90}}{\color{#F39800}{6}}\) は近似的に標準正規分布 \(N(0,\ 1)\) に従う。

有意水準5%の片側検定の棄却域は　\(Z\geq 1.64\)

\(X=101\) のとき　\(Z=\frac{101-90}{6}\approx \color{#EE4656}{1.83}\)　であり、これは棄却域に入るから、帰無仮説 \(H_0\) は棄却される。

つまり、品種改良によって発芽率が上がったと判断してよい。

まとめ：仮説検定