今日の板書はこれ！
■ 集合と要素
属すか否かが明確に判別できるものの集まりを集合といい、\(A\) などの大文字で表す。
集合に属する1つ1つのものを要素という。
\(a\) が集合 \(A\) に属する → \(a\in A\)
\(a\) が集合 \(A\) に属さない → \(a\notin A\)
有限個、無限個の要素からなる集合を、それぞれ有限集合、無限集合という。
要素を1つももたない集合を空集合といい、\(\emptyset\) で表す。
■ 集合の表し方
[1] 要素を1つずつ書き並べる
[2] 要素の満たす条件を示す { 要素の代表 | 条件 }
例：1桁の奇数の集合 \(A\)
[1] \(A=\{1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9\}\)
[2] \(A=\{\color{#45A3DA}{n}\mid n\) は奇数，\(1\leq n\leq 9\}\)
■ 注意
要素の区切りは「、」ではなく「,」を使う。
「…」で省略するときは、前に要素を3つは書く。
\(\{x\mid x\) は実数，\(0\leq x\leq 1\}\) などは [1] の方法では表せない。
次の集合を、要素を書き並べて表せ。
(1) 18の正の約数全体の集合 \(A\)
(2) \(B=\{2n\mid n\) は10以下の自然数\(\}\)
(3) 自然数全体の集合 \(N\)
▼ 解答
(1) 18の正の約数は1, 2, 3, 6, 9, 18であるから
\(A=\{1,\ 2,\ 3,\ 6,\ 9,\ 18\}\)
(2) \(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 10\) のとき \(2n=2,\ 4,\ 6,\ \cdots,\ 20\) であるから
\(B=\{2,\ 4,\ 6,\ \cdots,\ 20\}\)
(3) \(N=\{1,\ 2,\ 3,\ \cdots\}\)
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18の正の約数全体の集合を、要素を書き並べて表すと？
次の集合を、要素を書き並べて表せ。
(1) 18の正の約数全体の集合 \(A\)
(2) \(B=\{2n\mid n\) は10以下の自然数\(\}\)
(3) 自然数全体の集合 \(N\)
そもそも「集合」とか「要素」って何ですか？書き方も分からないです…。
集合と要素とは？
まずは言葉の意味から確認しよう！集合は「ものの集まり」なんだけど、どんな集まりでもいいわけではないんだ。
属すか否かが明確に判別できるものの集まりを集合といい、\(A\) などの大文字で表します。
たとえば「1桁の奇数の集まり」は、1, 3, 5, 7, 9 が入り、それ以外は入らないとはっきり決まるので、集合です。
一方、「大きい数の集まり」は、どの数が入るのかがはっきり決まらないので、集合ではありません。
「大きい数」がどれかは、人によって基準が違います。
100を大きいと思う人もいれば、1億でも小さいと思う人もいます。
このように、あるものがその集まりに入るかどうかが人によって変わってしまうと、数学では正確に議論できません。
そこで数学では、「1桁の奇数」のように、入るか入らないかが誰が見ても同じに決まる集まりだけを集合として扱います。
集合に属する1つ1つのものを要素といいます。
1桁の奇数の集合を \(A\) とすると、3は \(A\) の要素で、4は \(A\) の要素ではありません。
これを記号で次のように表します。
\(3\in A\) （3は \(A\) に属する）
\(4\notin A\) （4は \(A\) に属さない）
一般に、\(a\) が集合 \(A\) に属することを \(a\in A\)、属さないことを \(a\notin A\) と表します。
有限集合・無限集合・空集合
1桁の奇数の集合のように、要素が有限個の集合を有限集合といいます。
自然数全体の集合のように、要素が無限個ある集合を無限集合といいます。
また、要素を1つももたない集合を空集合といい、\(\emptyset\) で表します。
たとえば「2乗すると負になる実数の集合」は、そのような実数が1つもないので空集合です。
集合の表し方
集合はどうやって書けばいいんですか？
書き方は2通りあるよ！どちらも中かっこ { } を使うんだ。
[1] 要素を1つずつ書き並べる
1つ目は、要素を { } の中に書き並べる方法です。
1桁の奇数の集合 \(A\) なら、次のようになります。
\(A=\{1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9\}\)
要素の区切りは「、」ではなく「,」を使います。
[2] 要素の満たす条件を示す
2つ目は、要素がどんな条件を満たすかを書く方法です。
縦線の左に要素の代表、右にその要素が満たす条件を書きます。
{ 要素の代表 | 条件 }
1桁の奇数の集合 \(A\) なら、要素を \(n\) で代表させて、次のように書けます。
\(A=\{\color{#45A3DA}{n}\mid n\) は奇数，\(1\leq n\leq 9\}\)
縦線の右の「\(n\) は奇数で、1以上9以下」という条件を満たす\(n\)を全部集めた集合、という意味です。
また、奇数は \(2n-1\) と表せるので、要素の代表を \(2n-1\) にして次のように書くこともできます。
\(A=\{\color{#45A3DA}{2n-1}\mid n\) は自然数，\(1\leq n\leq 5\}\)
\(n=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\) を代入すると、\(2n-1=1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9\) となり、同じ集合になることが確かめられます。
2つの方法の使い分け
「0以上1以下の実数全体の集合」は、要素が無限にあり、しかも1つずつ並べることができないので、[1] の方法では表せません。
このような集合は、[2] の方法で \(\{x\mid x\) は実数，\(0\leq x\leq 1\}\) と表します。
要素を書き並べて表そう
次の集合を、要素を書き並べて表せ。
(1) 18の正の約数全体の集合 \(A\)
(2) \(B=\{2n\mid n\) は10以下の自然数\(\}\)
(3) 自然数全体の集合 \(N\)
(1) 18の正の約数
18を割り切る正の整数を小さい順に探すと、1, 2, 3, 6, 9, 18 です。
よって、 \(A=\{1,\ 2,\ 3,\ 6,\ 9,\ 18\}\) です。
(2) 条件で表された集合
要素の代表は \(2n\) で、条件は「\(n\) は10以下の自然数」です。
\(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 10\) を代入すると、\(2n=2,\ 4,\ 6,\ \cdots,\ 20\) となります。
よって、 \(B=\{2,\ 4,\ 6,\ \cdots,\ 20\}\) です。
要素が多いときは「…」で省略できますが、規則が分かるように、「…」の前に要素を3つは書くようにしましょう。
(3) 自然数全体の集合
自然数は 1, 2, 3, … と限りなく続く無限集合なので、「…」を使って書きます。
よって、 \(N=\{1,\ 2,\ 3,\ \cdots\}\) です。
「…」の前に3つ書けば、どう続くのかが分かるんですね！
そのとおり！2つだけだと、続き方がいく通りも考えられてしまうからね。
練習問題
有理数全体の集合を \(Q\) とする。次の □ に適する記号 \(\in\) または \(\notin\) を入れよ。
(1) \(4\) □ \(Q\)
(2) \(-\frac{2}{3}\) □ \(Q\)
(3) \(\sqrt{2}\) □ \(Q\)
答えを見る
(1) 4は有理数であるから \(4\in Q\)
(2) \(-\frac{2}{3}\) は有理数であるから \(-\frac{2}{3}\in Q\)
(3) \(\sqrt{2}\) は無理数であるから \(\sqrt{2}\notin Q\)
次の集合を、要素を書き並べて表せ。
(1) 20の正の約数全体の集合 \(A\)
(2) \(B=\{x\mid x\) は10以下の正の奇数\(\}\)
(3) \(C=\{2n+1\mid n=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots\}\)
答えを見る
(1) \(A=\{1,\ 2,\ 4,\ 5,\ 10,\ 20\}\)
(2) \(B=\{1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9\}\)
(3) \(n=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots\) のとき \(2n+1=1,\ 3,\ 5,\ 7,\ \cdots\) であるから
\(C=\{1,\ 3,\ 5,\ 7,\ \cdots\}\)
本文の1桁の奇数の集合の例を参考にして、正で20以下である3の倍数全体の集合 \(A=\{3,\ 6,\ 9,\ 12,\ 15,\ 18\}\) を、要素の満たす条件を書いて表す方法で2通りに表せ。
答えを見る
\(A=\{x\mid x\) は20以下の正の3の倍数\(\}\)
\(A=\{3n\mid n\) は自然数，\(1\leq n\leq 6\}\)
まとめ：集合と要素・集合の表し方
さて、今回のまとめだよ！
■ 集合と要素
属すか否かが明確に判別できるものの集まりを集合といい、\(A\) などの大文字で表す。
集合に属する1つ1つのものを要素という。
\(a\) が集合 \(A\) に属する → \(a\in A\)
\(a\) が集合 \(A\) に属さない → \(a\notin A\)
有限個、無限個の要素からなる集合を、それぞれ有限集合、無限集合という。
要素を1つももたない集合を空集合といい、\(\emptyset\) で表す。
■ 集合の表し方
[1] 要素を1つずつ書き並べる
[2] 要素の満たす条件を示す { 要素の代表 | 条件 }
例：1桁の奇数の集合 \(A\)
[1] \(A=\{1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9\}\)
[2] \(A=\{\color{#45A3DA}{n}\mid n\) は奇数，\(1\leq n\leq 9\}\)
■ 注意
要素の区切りは「、」ではなく「,」を使う。
「…」で省略するときは、前に要素を3つは書く。
\(\{x\mid x\) は実数，\(0\leq x\leq 1\}\) などは [1] の方法では表せない。
また一つ賢くなった！
一人だと続かない人は、こんな方法もあるよ！
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