【数学Ⅰ】集合と命題03：共通部分と和集合

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

2つの集合の「共通」と「合わせたもの」は？

共通部分と和集合とは？

\(A\)，\(B\) の両方に属する要素全体の集合を、\(A\) と \(B\) の共通部分といい、\(A\cap B\) と表します。

「\(A\) かつ \(B\)」と読みます。

\(A\)，\(B\) の少なくとも一方に属する要素全体の集合を、\(A\) と \(B\) の和集合といい、\(A\cup B\) と表します。

「\(A\) または \(B\)」と読みます。

ベン図で見ると、共通部分は2つの円が重なった部分、和集合は2つの円を合わせた部分全体です。

このように、複数の集合の関係はベン図で考えるのが基本です。

要素を書き並べた集合で求めよう

例題1(1)の \(A=\{1,\ 2,\ 3,\ 6\}\)，\(B=\{2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10\}\) を、ベン図に書き入れてみます。

\(A\) と \(B\) の両方に入っている要素は2と6なので、重なった部分にはこの2つが入ります。

よって、　\(A\cap B=\{2,\ 6\}\)　です。

和集合は、\(A\) と \(B\) の要素を全部集めたものです。

2と6は両方にありますが、集合では同じ要素を2回書かないので、1回ずつ書きます。

よって、　\(A\cup B=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10\}\)　です。

実数の範囲で表された集合で求めよう

\(A\) は「0より大きく3より小さい実数」、\(B\) は「2以上5以下の実数」の集合です。

それぞれを数直線上に表すと、次のようになります。

共通部分 A∩B

2つの範囲が重なっているのは、2から3までの部分です。

端の点を確かめると、2は \(B\) に入り（\(2\leq x\)）、\(A\) にも入る（\(0<2<3\)）ので含まれます。

3は \(A\) に入らない（\(x<3\)）ので含まれません。

よって、　\(A\cap B=\)\(\{x\mid 2\leq x<3\),\(x\) は実数\(\}\)　です。

和集合 A∪B

2つの範囲を合わせると、0から5までになります。

0はどちらにも入らないので含まず、5は \(B\) に入るので含みます。

よって、　\(A\cup B=\)\(\{x\mid 0<x\leq 5\),\(x\) は実数\(\}\)　です。

範囲の集合では、端の点が含まれるかどうかを、等号の有無で1つずつ確かめることが大切です。

3つの集合の共通部分と和集合

集合が3つになっても考え方は同じです。

\(A\cap B\cap C\) は3つすべてに属する要素、\(A\cup B\cup C\) は少なくとも1つに属する要素の集合です。

3つすべてに入っている要素は6だけです。

よって、　\(A\cap B\cap C=\{6\}\)　です。

3つの集合の要素を重複なく全部集めると、　\(A\cup B\cup C=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 9\}\)　です。

練習問題

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(1) \(A\cap B=\{2,\ 4,\ 6\}\)

(2) \(A\cup B=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8\}\)

(3) \(B\) と \(C\) に共通な要素はないから　\(B\cap C=\emptyset\)

(4) \(B\cup C=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8\}\)

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数直線で考えると

\(A\cap B=\)\(\{x\mid 0<x\leq 2\),\(x\) は実数\(\}\)

\(A\cup B=\)\(\{x\mid x<4\),\(x\) は実数\(\}\)

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\(A\cap B\cap C=\{6\}\)

\(A\cup B\cup C=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 9,\ 10,\ 12\}\)

まとめ：共通部分と和集合