【数学Ⅰ】集合と命題04：全体集合と補集合

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

全体集合の中で「Aでないもの」を表すと？

全体集合と補集合とは？

ある集合の部分集合だけを考えるとき、もとになる集合を全体集合といい、\(U\) で表します。

例題1では \(U=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\}\) が全体集合です。

全体集合 \(U\) の要素のうち、\(A\) に属さない要素全体の集合を \(A\) の補集合といい、\(\overline{A}\) で表します。

「\(A\) バー」と読みます。

例題1では、\(U\) の要素から \(A=\{1,\ 2,\ 3\}\) の要素を除いて、　\(\overline{A}=\{4,\ 5,\ 6\}\)　となります。

ベン図では、全体集合 \(U\) を長方形で表し、その中で \(A\) の円の外側が補集合 \(\overline{A}\) になります。

補集合の性質

補集合には、次の3つの性質があります。

例題1の \(A\) で確かめてみましょう。

① 補集合の補集合はもとの集合

\(\overline{A}=\{4,\ 5,\ 6\}\) の補集合は、\(U\) から4, 5, 6を除いた \(\{1,\ 2,\ 3\}\) で、\(A\) にもどります。

\(\overline{\overline{A}}=A\)

② Aとその補集合

\(A\) と \(\overline{A}\) には共通な要素がなく、合わせると全体集合になります。

\(A\cap\overline{A}=\emptyset\)　\(A\cup\overline{A}=U\)

③ 包含関係と補集合

\(A\) が \(B\) に含まれるとき、補集合では包含関係の向きが逆になります。

\(A\subset B\Leftrightarrow \overline{A}\supset \overline{B}\)

ド・モルガンの法則

(3) の \(\overline{A\cup B}\) は、\(A\cup B=\{1,\ 2,\ 3,\ 6\}\) の補集合なので \(\{4,\ 5\}\) です。

一方、\(\overline{A}=\{4,\ 5,\ 6\}\)，\(\overline{B}=\{1,\ 2,\ 4,\ 5\}\) の共通部分を求めると、\(\overline{A}\cap\overline{B}=\{4,\ 5\}\) となり、同じ集合になります。

このように、次の2つの式がいつでも成り立ちます。

これをド・モルガンの法則といいます。

\(\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}\)

\(\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}\)

覚え方は、全体にかかったバーを1本ずつに分けると、\(\cup\) と \(\cap\) が入れかわる、です。

逆向きに使うと、バー（「以外」）を2本から1本に減らせます。

バーが少ない形の方が計算が楽になることが多いので、うまく使い分けましょう。

補集合を求めよう

(1) \(U\) から \(A\) の要素を除いて、　\(\overline{A}=\{4,\ 5,\ 6\}\)　です。

(2) \(A\) と \(B\) の要素を合わせて、　\(A\cup B=\{1,\ 2,\ 3,\ 6\}\)　です。

(3) (2) の補集合なので、　\(\overline{A\cup B}=\{4,\ 5\}\)　です。

(4) \(\overline{A}\) と \(\overline{B}\) をそれぞれ求めてから和集合をとってもよいですが、ド・モルガンの法則を使うとバーが1本になって楽です。

\(\overline{A}\cup\overline{B}=\overline{A\cap B}\) で、\(A\cap B=\{3\}\) なので、

\(\overline{A}\cup\overline{B}=\{1,\ 2,\ 4,\ 5,\ 6\}\)　です。

練習問題

答えを見る

\(\overline{A}=\{4,\ 5,\ 6\}\)，\(\overline{B}=\{1,\ 2,\ 4,\ 5\}\) である。

(1) \(\overline{B}=\{1,\ 2,\ 4,\ 5\}\)

(2) \(A\cap B=\{3\}\) であるから　\(\overline{A\cap B}=\{1,\ 2,\ 4,\ 5,\ 6\}\)

(3) \(\overline{A}\cap\overline{B}=\{4,\ 5\}\)

(4) \(\overline{A}\cup\overline{B}=\{1,\ 2,\ 4,\ 5,\ 6\}\)

(5) \(\overline{A}\cap B=\{6\}\)

(6) \(A\cap\overline{B}=\{1,\ 2\}\)

まとめ：全体集合と補集合