【高校数学A】「図形の性質」まとめページ｜定義・公式を分かりやすく完全解説

■ 内分点
線分AB上にあり、\(\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=m:n\) を満たす点Pを、線分ABを \(m:n\) に内分する点という。

■ 外分点
線分ABの延長線上にあり、\(\mathrm{AQ}:\mathrm{QB}=m:n\)（\(m\neq n\)）を満たす点Qを、線分ABを \(m:n\) に外分する点という。
\(m>n\) のとき、QはBの外側にある。
\(m<n\) のとき、QはAの外側にある。

■ 内角の二等分線と辺の比
△ABCの∠Aの二等分線と辺BCの交点Pは、辺BCを AB：AC に内分する。
BP：PC＝AB：AC

■ 外角の二等分線と辺の比
AB≠AC である△ABCの∠Aの外角の二等分線と直線BCの交点Qは、辺BCを AB：AC に外分する。
BQ：QC＝AB：AC

■ 外心
三角形の3辺の垂直二等分線は1点で交わる。その交点を外心という。

■ 外心の性質
外心は3頂点からの距離が等しい点（外接円の中心）である。
OA＝OB＝OC

■ 内心
三角形の3つの内角の二等分線は1点で交わる。その交点を内心という。

■ 内心の性質
内心は3辺からの距離が等しい点（内接円の中心）である。

■ 中線
三角形の頂点と、それに向かい合う辺の中点を結ぶ線分を中線という。

■ 重心
三角形の3本の中線は1点で交わる。その交点を重心という。

■ 重心の性質
重心は各中線を 2：1 に内分する。

■ チェバの定理
△ABCと1点Oがある。頂点A，B，Cと点Oを結ぶ直線が、向かい合う辺またはその延長と交わる点をそれぞれP，Q，Rとすると、次の式が成り立つ。
\(\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}}\cdot \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}}\cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}}=1\)

■ 式の覚え方
頂点→分点→頂点→分点→頂点→分点→頂点 の順に、三角形を1周する。

■ メネラウスの定理
△ABCと1本の直線ℓがある。直線ℓが辺BC，CA，ABまたはその延長と交わる点をそれぞれP，Q，Rとすると、次の式が成り立つ。
\(\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}}\cdot \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}}\cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}}=1\)

■ 式の覚え方
チェバの定理と同じく、頂点→分点→頂点→分点→頂点→分点→頂点 の順に三角形を1周する。

■ 円周角の定理
1つの弧に対する円周角の大きさは一定であり、その弧に対する中心角の半分である。
\(\angle\mathrm{APB}=\frac{1}{2}\angle\mathrm{AOB}\)

■ 円に内接する四角形の性質
① 対角の和は180° である。
② 内角は、その対角の外角に等しい。

■ 四角形が円に内接する条件
次の①〜③のどれかが成り立つ四角形は円に内接する。（4つの頂点は同一円周上にある）
① 1辺を見込む2つの角が等しい（円周角の定理の逆）
② 1組の対角の和が180°
③ 1つの内角が、その対角の外角に等しい

■ ① 接線と半径
円の接線は、接点を通る半径に垂直である。

■ ② 接線の長さ
円の外部の点から引いた2本の接線の長さは等しい。

■ ③ 接弦定理
接点を通る弦と接線が作る角は、その角の内部にある弧に対する円周角に等しい。

■ ④ 方べきの定理
点Pから、直線と円の交点までの距離の積が等しい。

[1] 点Pを通る2直線が、円とそれぞれ2点A，Bと2点C，Dで交わるとき
PA・PB＝PC・PD

[2] 点Pを通る2直線の一方が円と2点A，Bで交わり、他方が点Tで接するとき
PA・PB＝PT²

■ 2つの円の位置関係
2つの円の半径を \(r\)，\(r’\)（\(r>r’\)）、中心間の距離を \(d\) とする。

• 離れている　\(d>r+r’\)　（共通接線4本）
• 外接する　\(d=r+r’\)　（共通接線3本）
• 2点で交わる　\(r-r'<d<r+r’\)　（共通接線2本）
• 内接する　\(d=r-r’\)　（共通接線1本）
• 一方が他方の内部にある　\(d<r-r’\)　（共通接線0本）

■ 共通接線の長さの求め方
直角三角形ができるように補助線を引いて、三平方の定理を利用する。
接点を通る半径は接線に垂直であることを使う。

■ 2直線の位置関係
①1点で交わる　②平行である　③ねじれの位置にある
①②は同じ平面上にあり、③は同じ平面上にない。

■ 2直線のなす角
2直線ℓ，mが交わらないときは、一方を平行移動して交わらせたときにできる角をなす角とする。なす角が90°のとき、2直線は垂直であるといい、ℓ⊥m と表す。

■ 直線と平面の位置関係
①直線が平面に含まれる　②1点で交わる　③平行である

■ 直線と平面の垂直
直線hが平面α上のすべての直線に垂直であるとき、hはαに垂直であるといい、h⊥α と表す。

■ 判定のしかた
直線hが、平面α上の交わる2直線ℓ，mに垂直ならば、hはαに垂直である。

■ 2平面のなす角
交線上の点Oから、各平面上に交線に垂直に引いた2直線のなす角。

■ オイラーの多面体定理
凸多面体の頂点の数を V，辺の数を E，面の数を F とすると
V－E＋F＝2

■ 正多面体
次の2つの条件を満たす凸多面体。5種類しかない。
・各面が合同な正多角形
・各頂点に集まる面の数がすべて等しい

■ 双対多面体
ある多面体の各面の中心（重心）を新しい頂点として結んだ立体。頂点と面を入れかえた立体になる。

• 正四面体 → 正四面体
• 正六面体 ⇄ 正八面体
• 正十二面体 ⇄ 正二十面体