【数学A】図形の性質01：線分の内分点と外分点

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

線分ABを3：2に外分する点はどこ？

内分点とは？

まずは具体的な例で考えます。

長さ5の線分AB上に、Aから2、Bから3の位置に点Pをとります。

このとき、\(\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=\color{#45A3DA}{2}:\color{#E9548E}{3}\) です。

このような点Pを、線分ABを \(2:3\) に内分する点といいます。

一般に、線分AB上にあって \(\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=m:n\) を満たす点Pを、線分ABを \(m:n\) に内分する点といいます。

点Pは線分ABの「内側」で、長さをmとnの比に分けています。

外分点とは？

次に、線分ABの延長線上に点Qをとります。

Bの外側に、\(\mathrm{AQ}\) が4目もり、\(\mathrm{QB}\) が1目もりになるようにとってみましょう。

このとき、\(\mathrm{AQ}:\mathrm{QB}=\color{#45A3DA}{4}:\color{#E9548E}{1}\) です。

このような点Qを、線分ABを \(4:1\) に外分する点といいます。

図を見ると、ABの長さは \(4-1=3\) 目もり分になっています。

外分では、Aからの距離とBからの距離の差がABの長さになります。

一般に、線分ABの延長線上にあって \(\mathrm{AQ}:\mathrm{QB}=m:n\)（\(m\neq n\)）を満たす点Qを、線分ABを \(m:n\) に外分する点といいます。

外分点Qが線分のどちら側にあるかは、mとnの大小で決まります。

\(m>n\) のときは、Aからの距離の方が長いので、QはBの外側にあります。

\(m<n\) のときは、Bからの距離の方が長いので、QはAの外側にあります。

最初の問題を解こう

外分点を図示するときは、まず「QがAとBのどちらの外側にあるか」を決め、次に「ABが何目もり分になるか」を考えます。

(1) \(3>2\) なので、QはBの外側です。

AQが3目もり、QBが2目もりなので、ABは \(3-2=1\) 目もり分です。

よって、\(\mathrm{AB}:\mathrm{BQ}=1:2\) となる位置にQをとります。

(2) \(3>1\) なので、QはBの外側です。

ABは \(3-1=2\) 目もり分なので、\(\mathrm{AB}:\mathrm{BQ}=2:1\) となる位置にQをとります。

(3) \(1<2\) なので、QはAの外側です。

QAが1目もり、QBが2目もりなので、ABは \(2-1=1\) 目もり分です。

よって、\(\mathrm{QA}:\mathrm{AB}=1:1\) となる位置にQをとります。

(4) \(2<5\) なので、QはAの外側です。

ABは \(5-2=3\) 目もり分なので、\(\mathrm{QA}:\mathrm{AB}=2:3\) となる位置にQをとります。

練習問題

答えを見る

ABは6目もり分である。

内分点Pは、ABを \(2:1\) に分けるので、Aから4目もりの位置にある。

外分点Qは、\(2>1\) よりBの外側にあり、ABが \(2-1=1\) にあたるので、\(\mathrm{AB}=\mathrm{BQ}\) となる。よって、Bから外側へ6目もりの位置にある。

まとめ：線分の内分点と外分点