【数学A】図形の性質04：三角形の内心

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

内心Iがあるとき、∠BICは何度？

内心とは？

三角形の3つの内角すべてに二等分線を引くと、3本は必ず1点で交わります。

この交点を内心といい、ふつうIで表します。

では、内心にはどんな性質があるのでしょうか。

まず、角の二等分線の性質を確認します。

角の二等分線上の点は、角をはさむ2辺BA，BCからの距離が等しくなっています。

内心Iは3本の二等分線すべての上にあるので、3辺からの距離が等しい点です。

図の赤い線は、Iから各辺に下ろした垂線で、長さがすべて等しくなっています。

そのため、Iを中心としてこの距離を半径とする円をかくと、3辺すべてに接します。

この円を△ABCの内接円といい、内心は内接円の中心になっています。

外心と内心のちがい

外心は「3辺の垂直二等分線の交点」で、3頂点からの距離が等しい点でした。

内心は「3つの内角の二等分線の交点」で、3辺からの距離が等しい点です。

また、外心は三角形の形によって外部にできることもありますが、内心はどんな三角形でも必ず三角形の内部にあります。

最初の問題を解こう

Iは内心なので、BIは∠Bの二等分線、CIは∠Cの二等分線です。

等しい角どうしを同じ色で表すと、次の図のようになります。

求める \(\alpha\) は△IBCの1つの角です。

△IBCの残りの2つの角は25°と35°なので、三角形の内角の和から求められます。

\(\alpha=180^\circ-(25^\circ+35^\circ)=\color{#EE4656}{120^\circ}\)

練習問題

答えを見る

(1) ∠IAC＝∠IAB＝44° より　∠A＝88°

∠IBA＝∠IBC＝20° より　∠B＝40°

よって　∠C＝180°－(88°＋40°)＝52°

\(\alpha\) は∠Cの半分であるから　\(\color{#EE4656}{\alpha=26^\circ}\)

(2) ∠ICB＝∠ICA＝30° より　∠C＝60°

よって　∠B＝180°－(70°＋60°)＝50°

\(\alpha\) は∠Bの半分であるから　\(\color{#EE4656}{\alpha=25^\circ}\)

(3) ∠B＋∠C＝180°－40°＝140°

∠IBC＋∠ICB は ∠B＋∠C の半分であるから　∠IBC＋∠ICB＝70°

△IBCの内角の和より　\(\alpha=180^\circ-70^\circ=\color{#EE4656}{110^\circ}\)

答えを見る

内接円の半径を \(r\) とする。Iから辺BCまでの距離は \(r\) であり、PはBCに関してIと対称な点であるから　IP＝\(2r\)

同様に　IQ＝\(2r\)，IR＝\(2r\)

よって IP＝IQ＝IR となり、Iは3点P，Q，Rからの距離が等しい点である。

したがって、Iは△PQRの外心である。

まとめ：三角形の内心