【数学A】図形の性質06：チェバの定理

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

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でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

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3直線が1点で交わるとき、BP：PCは？

チェバの定理とは？

チェバの定理は、「三角形と1点」からできる図についての定理です。

△ABCと、1点Oを考えます。

頂点A，B，Cと点Oをそれぞれ直線で結び、向かい合う辺と交わる点をP，Q，Rとします。

点P，Q，Rは、それぞれ辺BC，CA，ABを2つの部分に分けているので、分点とよびます。

チェバの定理は、この3つの分点が辺を分ける比の関係を表した定理です。

まずは具体例で確かめてみます。

下の図では、3直線AP，BQ，CRが1点Oで交わっていて、AR：RB＝1：1，BP：PC＝2：1，CQ：QA＝1：2 です。

この3つの比を分数にしてかけ合わせてみましょう。

\(\frac{1}{1}\cdot \frac{2}{1}\cdot \frac{1}{2}=1\)

ちょうど1になりました。

実は、3直線が1点で交わるときは、いつでもこの積が1になります。

これをチェバの定理といいます。

一般に、△ABCと1点Oがあり、頂点A，B，Cと点Oを結ぶ直線が、向かい合う辺またはその延長とそれぞれP，Q，Rで交わるとき、次の式が成り立ちます。

\(\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}}\cdot \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}}\cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}}=1\)

式の覚え方

式は、Aから出発して 頂点→分点→頂点→分点→頂点→分点→頂点 の順に三角形を1周すると覚えます。

下の図の①〜⑥の順に線分をたどり、①③⑤を分子、②④⑥を分母にします。

点Oが三角形の外部にあって、P，Q，Rの一部が辺の延長上にある場合でも、同じ式が成り立ちます。

最初の問題を解こう

3直線AP，BQ，CRが1点Oで交わっているので、△ABCと点Oについてチェバの定理が使えます。

Aから順に1周して、分かっている比を入れていきます。

\(\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}}\cdot \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}}\cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}}=1\)

\(\frac{2}{3}\cdot \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}}\cdot \frac{2}{1}=1\)

\(\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{1}=\frac{4}{3}\) なので、\(\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}}=\frac{3}{4}\) となります。

よって　BP：PC＝3：4

練習問題

答えを見る

△ABCと点Oについて、チェバの定理より

\(\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}}=1\)

よって　\(\frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}}=\frac{3}{2}\)

したがって　CQ：QA＝3：2

まとめ：チェバの定理