【数学A】図形の性質07：メネラウスの定理

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

直線が三角形を横切るとき、AR：RBは？

メネラウスの定理とは？

メネラウスの定理は、「三角形と1直線」からできる図についての定理です。

チェバの定理が「三角形と1点」だったのに対して、こちらは点のかわりに1本の直線を考えます。

△ABCと、1本の直線ℓを考えます。

直線ℓが、辺BC，CA，ABまたはその延長と交わる点を、それぞれP，Q，Rとします。

点P，Q，Rは、それぞれの辺を2つの部分に分けているので、チェバの定理と同じく分点とよびます。

分点Pのように辺の延長上にある分点は、辺を外分しています。

メネラウスの定理は、この3つの分点が辺を分ける比の関係を表した定理です。

まずは具体例です。

下の図では、直線ℓが辺AB，CAとそれぞれ点R，Qで交わり、辺BCの延長と点Pで交わっています。

AR：RB＝1：1，CQ：QA＝1：2 で、Pは CP＝BC となる位置にあります。

BP：PC＝2：1 なので、チェバの定理と同じ順に比をかけ合わせてみます。

\(\frac{1}{1}\cdot \frac{2}{1}\cdot \frac{1}{2}=1\)

やはり1になりました。

三角形の3辺（またはその延長）を1本の直線が横切るとき、いつでもこの積が1になります。

これをメネラウスの定理といいます。

\(\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}}\cdot \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}}\cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}}=1\)

式の覚え方

式の作り方はチェバの定理と同じで、Aから出発して 頂点→分点→頂点→分点→頂点→分点→頂点 の順に1周します。

ちがいは、分点Pが辺BCの延長上にあるので、BからPまで行ってからCへ「もどる」ところです。

直線ℓが三角形の外側を通り、3つの交点がすべて延長上にある場合でも、同じ式が成り立ちます。

最初の問題を解こう

まず、BC：CP＝3：2 から BP：PC を求めます。

BPは BC＋CP なので、BP：PC＝(3＋2)：2＝5：2 です。

△ABCと直線ℓについて、メネラウスの定理を使います。

Aから順に1周して比を入れます。

\(\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}}\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{3}{5}=1\)

\(\frac{5}{2}\cdot \frac{3}{5}=\frac{3}{2}\) なので、\(\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}}=\frac{2}{3}\) です。

よって　AR：RB＝2：3

チェバとメネラウスを組み合わせる

チェバの定理とメネラウスの定理は、1つの図の中で組み合わせて使うことがよくあります。

(1) チェバの定理を使う

3直線AP，BQ，CRは1点Oで交わっているので、△ABCと点Oについてチェバの定理を使います。

\(\frac{1}{2}\cdot \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}}\cdot \frac{2}{3}=1\)

\(\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{3}\) なので、\(\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}}=3\) となり、BP：PC＝3：1 です。

(2) メネラウスの定理を使う

PO：OA は、直線AP上の比です。

そこで、AとPを頂点にもつ△APCを考え、これを直線BQが横切っているとみます。

△APCの頂点Aから出発し、A→O→P→B→C→Q→A の順に1周します。

(1)より PB：BC＝3：4 です。

\(\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{OP}}\cdot \frac{\mathrm{PB}}{\mathrm{BC}}\cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}}=1\)

\(\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{OP}}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{2}{3}=1\)

よって \(\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{OP}}=2\) となり、PO：OA＝1：2 です。

練習問題

答えを見る

BC：CP＝2：1 より　BP：PC＝3：1

△ABCと直線RPについて、メネラウスの定理より

\(\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{1}\cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}}=1\)　よって　\(\frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}}=\frac{1}{2}\)

したがって　CQ：QA＝1：2

答えを見る

(1) △ABCと直線PQについて、メネラウスの定理より

\(\frac{1}{4}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}}=1\)　よって　\(\frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}}=6\)

CQ：QA＝6：1 であるから　CA：AQ＝5：1

(2) △PQCと直線ABについて、メネラウスの定理より

\(\frac{\mathrm{PR}}{\mathrm{RQ}}\cdot \frac{\mathrm{QA}}{\mathrm{AC}}\cdot \frac{\mathrm{CB}}{\mathrm{BP}}=1\)

(1)より QA：AC＝1：5，また CB：BP＝5：2 であるから

\(\frac{\mathrm{PR}}{\mathrm{RQ}}\cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{5}{2}=1\)　よって　\(\frac{\mathrm{PR}}{\mathrm{RQ}}=2\)

したがって　PR：RQ＝2：1

答えを見る

(1) △ABCと点Oについて、チェバの定理より

\(\frac{1}{3}\cdot \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}}\cdot \frac{3}{1}=1\)　よって　\(\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}}=1\)

したがって　BP：PC＝1：1

(2) (1)より　BC：CP＝2：1

△ABPと直線RCについて、メネラウスの定理より

\(\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}}\cdot \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{CP}}\cdot \frac{\mathrm{PO}}{\mathrm{OA}}=1\)

\(\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{1}\cdot \frac{\mathrm{PO}}{\mathrm{OA}}=1\)　よって　\(\frac{\mathrm{PO}}{\mathrm{OA}}=\frac{3}{2}\)

よって　OP：AP＝3：5

△OBPと△ABPは底辺BPが共通で、高さの比は OP：AP であるから　\(\triangle \mathrm{OBP}=\frac{3}{5}\triangle \mathrm{ABP}\)

また、BP：BC＝1：2 であるから　\(\triangle \mathrm{ABP}=\frac{1}{2}\triangle \mathrm{ABC}\)

よって　\(\triangle \mathrm{OBP}=\frac{3}{5}\times \frac{1}{2}\triangle \mathrm{ABC}=\frac{3}{10}\triangle \mathrm{ABC}\)

したがって　△OBP：△ABC＝3：10

まとめ：メネラウスの定理