【数学A】図形の性質10：2つの円の位置関係

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

半径6と4の2つの円はどんな位置関係？

2つの円の位置関係

2つの円の位置関係は、それぞれの円の半径と、2つの円の中心間の距離で決まります。

2つの円の半径を \(r\)，\(r’\)（\(r>r’\)）、中心間の距離を \(d\) とします。

2つの円を少しずつ近づけていくと、位置関係は次の5通りに変わっていきます。

まず、2つの円が外側でちょうど1点で接する（外接する）のは、中心間の距離が半径の和に等しいとき、つまり \(d=r+r’\) のときです。

これより遠ければ離れている、近ければ2点で交わります。

さらに近づけて、小さい円が大きい円の内側で1点で接する（内接する）のは、\(d=r-r’\) のときです。

これよりさらに近いと、小さい円は大きい円の内部に入ってしまいます。

まとめると、次のようになります。

• \(d>r+r’\)　→　離れている（共通接線4本）
• \(d=r+r’\)　→　外接する（共通接線3本）
• \(r-r'<d<r+r’\)　→　2点で交わる（共通接線2本）
• \(d=r-r’\)　→　内接する（共通接線1本）
• \(d<r-r’\)　→　一方が他方の内部にある（共通接線0本）

2つの円の両方に接する直線を共通接線といいます。

共通接線の本数は、2つの円の位置関係によって、次のように変わります。

最初の問題を解こう

まず、半径の和と差を求めておきます。

和は \(6+4=10\)、差は \(6-4=2\) です。

この2つの数と \(d\) をくらべます。

(1) \(d=12\) は10より大きいので　離れている

(2) \(d=10\) は和に等しいので　外接する

(3) \(d=5\) は2と10の間なので　2点で交わる

(4) \(d=2\) は差に等しいので　内接する

まとめ：2つの円の位置関係