今日の板書はこれ！
■ 共通接線の長さの求め方
直角三角形ができるように補助線を引いて、三平方の定理を利用する。
接点を通る半径は接線に垂直であることを使う。
直線ℓは2つの円O，O’の共通接線で、A，Bは接点である。円O，O’の半径をそれぞれ5，3とし、O，O’間の距離を10とするとき、線分ABの長さを求めよ。
▼ 解答
O’から線分OAに垂線O’Hを下ろすと、四角形AHO’Bは長方形である。
OH＝OA－O’B＝5－3＝2
△OO’Hは直角三角形であるから、三平方の定理より
\(\mathrm{AB}=\mathrm{O’H}=\sqrt{10^2-2^2}=\sqrt{96}=\color{#EE4656}{4\sqrt{6}}\)
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2つの円の共通接線ABの長さは？
直線ℓは2つの円O，O’の共通接線で、A，Bは接点である。円O，O’の半径をそれぞれ5，3とし、O，O’間の距離を10とするとき、線分ABの長さを求めよ。
ABは直接測れる線分じゃないし、どこから手をつければいいんでしょう…
接線と半径が垂直であることを使って、直角三角形を作るのがポイントだよ！
共通接線の長さの考え方
2つの円の両方に接する直線を共通接線といい、2つの接点の間の長さを共通接線の長さといいます。
接線は接点を通る半径に垂直なので、OA⊥AB，O’B⊥AB です。
つまり、OAとO’Bはどちらも直線ABに垂直で、平行になっています。
そこで、O’からOAに垂線O’Hを下ろすと、四角形AHO’Bは長方形になり、O’H＝AB となります。
さらに△OO’Hは直角三角形なので、三平方の定理が使えます。
2つの円の半径を \(r\)，\(r’\)、中心間の距離を \(d\) とすると、例題1のように2つの円が共通接線の同じ側にある場合、OH＝\(r-r’\) なので、共通接線の長さは \(\sqrt{d^2-(r-r’)^2}\) です。
練習1のように2つの円が共通接線の反対側にある場合は、OH＝\(r+r’\) となり、共通接線の長さは \(\sqrt{d^2-(r+r’)^2}\) になります。
式を覚えるより、毎回直角三角形を作って考える方が確実です。
最初の問題を解こう
直線ℓは2つの円O，O’の共通接線で、A，Bは接点である。円O，O’の半径をそれぞれ5，3とし、O，O’間の距離を10とするとき、線分ABの長さを求めよ。
O’から線分OAに垂線O’Hを下ろします。
四角形AHO’Bは長方形なので、AH＝O’B＝3 です。
OH＝OA－AH＝5－3＝2
△OO’Hは、斜辺がOO’＝10、1辺がOH＝2の直角三角形です。
三平方の定理より、O’Hの長さは次のようになります。
\(\mathrm{AB}=\mathrm{O’H}=\sqrt{10^2-2^2}=\sqrt{96}=\color{#EE4656}{4\sqrt{6}}\)
ABと同じ長さの線分を直角三角形の1辺として作るのがコツだよ！
練習問題
右の図において、直線ℓは2つの円O，O’の共通接線で、A，Bは接点である。円O，O’の半径をそれぞれ5，3とし、O，O’間の距離を10とするとき、線分ABの長さを求めよ。
答えを見る
O’から直線OAに垂線O’Hを下ろす。HはOAのAの先にあり、四角形AHO’Bは長方形であるから AH＝O’B＝3
OH＝OA＋AH＝5＋3＝8
△OO’Hは直角三角形であるから、三平方の定理より
\(\mathrm{AB}=\mathrm{O’H}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=\color{#EE4656}{6}\)
まとめ：2つの円の共通接線の長さ
さて、今回のまとめだよ！
■ 共通接線の長さの求め方
直角三角形ができるように補助線を引いて、三平方の定理を利用する。
接点を通る半径は接線に垂直であることを使う。
また一つ賢くなった！
一人だと続かない人は、こんな方法もあるよ！
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