今日の板書はこれ！
■ 2直線の位置関係
①1点で交わる ②平行である ③ねじれの位置にある
①②は同じ平面上にあり、③は同じ平面上にない。
■ 2直線のなす角
2直線ℓ，mが交わらないときは、一方を平行移動して交わらせたときにできる角をなす角とする。なす角が90°のとき、2直線は垂直であるといい、ℓ⊥m と表す。
■ 直線と平面の位置関係
①直線が平面に含まれる ②1点で交わる ③平行である
■ 直線と平面の垂直
直線hが平面α上のすべての直線に垂直であるとき、hはαに垂直であるといい、h⊥α と表す。
■ 判定のしかた
直線hが、平面α上の交わる2直線ℓ，mに垂直ならば、hはαに垂直である。
■ 2平面のなす角
交線上の点Oから、各平面上に交線に垂直に引いた2直線のなす角。
立方体ABCD-EFGHにおいて、次の2直線のなす角 \(\theta\) を求めよ。ただし、0°≦\(\theta\)≦90° とする。
(1) AB，DH
(2) AB，EG
▼ 解答
(1) DH∥AE であり、AB⊥AE であるから 90°
(2) EG∥AC であり、∠BAC＝45° であるから 45°
正四面体ABCDにおいて、辺ABの中点をMとする。
(1) 辺ABは平面CDMに垂直であることを証明せよ。
(2) AB⊥CD であることを証明せよ。
▼ 解答
(1) △ABCは正三角形で、MはABの中点であるから AB⊥CM
同様に、△ABDは正三角形であるから AB⊥DM
ABは、平面CDM上の交わる2直線CM，DMに垂直であるから AB⊥平面CDM
(2) CDは平面CDM上の直線である。(1)より、ABは平面CDMに垂直であるから AB⊥CD
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空間における平面と直線の基本事項は次の5つ！
空間の図形では、直線や平面どうしの関係として、次の5つを押さえておきます。
- ① 2直線の位置関係（交わる・平行・ねじれの位置）
- ② 2直線のなす角
- ③ 直線と平面の位置関係となす角
- ④ 直線と平面の垂直
- ⑤ 2平面の位置関係となす角
空間になると、平面のときより考えることが増えそうですね…
平面のときの考え方を広げるだけだよ！1つずつ見ていこう。
① 2直線の位置関係
平面上の2直線は「交わる」か「平行」のどちらかでした。
空間では、もう1つの位置関係があります。
- 1点で交わる（例：ABとAD）
- 平行である（例：ABとDC）
- ねじれの位置にある（例：ABとCG）
「1点で交わる」と「平行」の2直線は、同じ平面上にあります。
一方、ABとCGのように、交わらず、平行でもない2直線は、同じ平面上にありません。
このような位置関係をねじれの位置といいます。
② 2直線のなす角
2直線ℓ，mが交わらないときは、ℓ上の点Oを通り、mに平行な直線m’を引きます。
このとき、ℓとm’が作る角 θ を、2直線ℓ，mのなす角といいます。
つまり、一方の直線を平行移動して、もう一方と交わらせてから角を測るということです。
なす角は、ふつう 0°≦θ≦90° の範囲で考えます。
2直線ℓ，mのなす角が90°のとき、ℓとmは垂直であるといい、ℓ⊥m と表します。
特に、垂直な2直線が交わるときは、直交するといいます。
平行な直線は、どこに移しても「向き」は同じです。
なす角は2直線の向きの違いを表すものなので、どちらの直線をどこに平行移動しても、できる角の大きさは変わりません。
だから、計算しやすい場所に平行移動して考えてよいのです。
立方体では、辺や対角線を平行な別の辺・対角線に置きかえて考えるのが定番です。
③ 直線と平面の位置関係
直線ℓと平面αの位置関係は、次の3つです。
- 直線が平面に含まれる（共有点が無数にある）
- 1点で交わる（共有点が1つ）
- 平行である（共有点をもたない）。ℓ∥α と表す
直線と平面のなす角
直線ℓと平面αが点Oで交わるとき、ℓ上の点Pから平面αに垂線PHを下ろします。
このとき、∠POHを直線ℓと平面αのなす角といいます。
直線と平面のなす角は、直線の「影」との角と考えるとイメージしやすいよ。真上から光を当てたときの影がOHだね！
④ 直線と平面の垂直
直線hが平面αと点Hで交わり、α上のすべての直線に垂直であるとき、hはαに垂直である（直交する）といい、h⊥α と表します。
このとき、hを平面αの垂線、点Hを垂線の足といいます。
しかし、平面上の直線は無数にあるので、全部を調べることはできません。
そこで、次の定理を使います。
【定理】直線hが、平面α上の交わる2直線ℓ，mに垂直ならば、hはαに垂直である。
平面αは、交わる2直線ℓ，mによって1つに決まります。
平面上の向きは、ℓの向きとmの向きを組み合わせて、すべて表すことができます。
hがℓの向きにもmの向きにも垂直なら、それらを組み合わせたどの向きにも垂直になります。
だから、交わる2直線に垂直であれば、平面上のすべての直線に垂直になるのです。
注意：1本だけでは足りません。
また、2直線が平行だと平面上の向きを全部は表せないので、「交わる」2直線であることが大切です。
⑤ 2平面の位置関係となす角
異なる2つの平面α，βの位置関係は、次の2通りです。
- 交わる：2平面の交わりは1本の直線になる。この直線を2平面の交線という
- 平行である：共有点をもたない。α∥β と表す
2平面が交わるとき、交線上の点Oから、それぞれの平面上に交線に垂直な直線を引きます。
この2直線のなす角 θ を2平面のなす角といいます。
2平面α，βのなす角が直角のとき、αとβは垂直である（直交する）といい、α⊥β と表します。
例題1を解こう
立方体ABCD-EFGHにおいて、次の2直線のなす角 \(\theta\) を求めよ。ただし、0°≦\(\theta\)≦90° とする。
(1) AB，DH
(2) AB，EG
(1) AB，DH
DHはAEと平行です。
ABとAEは正方形ABFEのとなり合う辺なので、AB⊥AE です。
よって、なす角は 90°
(2) AB，EG
EGはACと平行です。
ACは正方形ABCDの対角線なので、∠BAC＝45° です。
よって、なす角は 45°
ABとDHは交わらないけど、なす角は90°。つまり垂直なんだ。「垂直＝交わる」とは限らないのが空間のポイントだよ！
例題2を解こう
正四面体ABCDにおいて、辺ABの中点をMとする。
(1) 辺ABは平面CDMに垂直であることを証明せよ。
(2) AB⊥CD であることを証明せよ。
(1) AB⊥平面CDM
平面CDM上の交わる2直線として、CMとDMを選びます。
この2本がABに垂直であることを示せばOKです。
正四面体の面はすべて正三角形です。
△ABCは正三角形（二等辺三角形）で、MはABの中点なので、中線CMは底辺ABに垂直です。
AB⊥CM
同じように、△ABDも正三角形なので、AB⊥DM です。
ABは、平面CDM上の交わる2直線CM，DMに垂直なので、AB⊥平面CDM です。
(2) AB⊥CD
(1)より、ABは平面CDMに垂直なので、平面CDM上のすべての直線に垂直です。
CDは平面CDM上の直線なので、AB⊥CD です。
「平面に垂直」が言えると、その平面上のどの直線とも垂直だと言える。これが(2)のようにねじれの位置にある2直線の垂直を示すときの強力な武器になるよ！
練習問題
立方体ABCD-EFGHにおいて、次の2直線のなす角 \(\theta\) を求めよ。ただし、0°≦\(\theta\)≦90° とする。
(1) AC，FH
(2) AC，DG
答えを見る
(1) FH∥BD である。正方形ABCDの対角線ACとBDは垂直に交わるから 90°
(2) DG∥AF である。AC，CF，FAはどれも合同な正方形の対角線であるから、△ACFは正三角形である。
よって、∠CAF＝60° であるから 60°
四面体ABCDにおいて、点Aから平面BCDに下ろした垂線をAOとする。また、点Oから直線BCに下ろした垂線をOEとする。このとき、AE⊥BC であることを証明せよ。
答えを見る
AO⊥平面BCD であり、BCは平面BCD上の直線であるから AO⊥BC
また、仮定より OE⊥BC
よって、BCは平面AOE上の交わる2直線AO，OEに垂直であるから BC⊥平面AOE
AEは平面AOE上の直線であるから AE⊥BC
この性質は「三垂線の定理」とよばれることもあります。
まとめ：空間における平面と直線の基本事項
さて、今回のまとめだよ！
■ 2直線の位置関係
①1点で交わる ②平行である ③ねじれの位置にある
①②は同じ平面上にあり、③は同じ平面上にない。
■ 2直線のなす角
2直線ℓ，mが交わらないときは、一方を平行移動して交わらせたときにできる角をなす角とする。なす角が90°のとき、2直線は垂直であるといい、ℓ⊥m と表す。
■ 直線と平面の位置関係
①直線が平面に含まれる ②1点で交わる ③平行である
■ 直線と平面の垂直
直線hが平面α上のすべての直線に垂直であるとき、hはαに垂直であるといい、h⊥α と表す。
■ 判定のしかた
直線hが、平面α上の交わる2直線ℓ，mに垂直ならば、hはαに垂直である。
■ 2平面のなす角
交線上の点Oから、各平面上に交線に垂直に引いた2直線のなす角。
また一つ賢くなった！
一人だと続かない人は、こんな方法もあるよ！
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