【数学A】図形の性質13：正多面体とオイラーの多面体定理

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

正八面体の頂点・辺・面の数は？

凸多面体とオイラーの多面体定理

いくつかの平面で囲まれた立体を多面体といいます。

そのうち、へこみのない多面体を凸多面体といいます。

正確には、どの2つの頂点を結んだ線分も、もとの多面体に含まれるものです。

凸多面体の頂点（Vertex）の数を V，辺（Edge）の数を E，面（Face）の数を F とすると、次の等式が成り立ちます。

これをオイラーの多面体定理といいます。

V－E＋F＝2

たとえば立方体では、V＝8，E＝12，F＝6 なので、8－12＋6＝2 となっています。

正多面体

次の2つの条件を満たす凸多面体を正多面体といいます。

• 各面が合同な正多角形である
• 各頂点に集まる面の数がすべて等しい

正多面体は、次の5種類しかないことが知られています。

最初の問題を解こう

正八面体は、8つの正三角形でできています。

よって F＝8 です。

辺の数 E

正三角形8つの辺を全部数えると 8×3＝24 本ですが、組み立てたとき、1本の辺は2つの面で共有されます。

E＝8×3÷2＝12

頂点の数 V

正三角形8つの頂点を全部数えると 8×3＝24 個ですが、正八面体では1つの頂点に4つの面が集まるので、4回ずつ重なって数えています。

V＝8×3÷4＝6

オイラーの多面体定理の確認

V－E＋F＝6－12＋8＝2

たしかに成り立っています。

練習問題

答えを見る

正多面体	面の数 F	面の形	頂点の数 V	辺の数 E
正四面体	4	正三角形	4	6
正六面体	6	正方形	8	12
正八面体	8	正三角形	6	12
正十二面体	12	正五角形	20	30
正二十面体	20	正三角形	12	30

正十二面体：E＝12×5÷2＝30，各頂点に3つの面が集まるから V＝12×5÷3＝20

正二十面体：E＝20×3÷2＝30，各頂点に5つの面が集まるから V＝20×3÷5＝12

正四面体　　4－6＋4＝2

正六面体　　8－12＋6＝2

正八面体　　6－12＋8＝2

正十二面体　20－30＋12＝2

正二十面体　12－30＋20＝2

よって、すべての正多面体で V－E＋F＝2 が成り立つ。

答えを見る

面：切り口の正三角形が8つ、もとの立方体の面が残った正方形が6つあるから　F＝8＋6＝14

頂点：もとの立方体の各辺の中点が頂点になるから　V＝12

辺：どの辺も、正三角形と正方形の境目になっている。正三角形8つの辺を数えると　E＝8×3＝24

よって　V－E＋F＝12－24＋14＝2　となり、成り立つ。

まとめ：正多面体とオイラーの多面体定理