【数学Ⅱ】複素数と方程式02：複素数の四則計算と共役複素数

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

負の数の平方根

√−a は √a i と表す

まず数字で見てみましょう。

\((3i)^2=9i^2=-9\)、\((-3i)^2=9i^2=-9\) なので、2乗して \(-9\) になる数は \(3i\) と \(-3i\) の2つです。

つまり、\(-9\) の平方根は \(\pm3i\) であり、\(\sqrt{-9}=3i\) と表します。

これを文字で表すと、\(a>0\) のとき、\(-a\) の平方根は \(\pm\sqrt{a}\,i\) であり、\(\sqrt{-a}={\color{#45A3DA}{\sqrt{a}\,i}}\) と定めます。

√−2×√−2を計算する

これまでのように \(\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}\) を使うと、

\(\sqrt{-2}\times\sqrt{-2}=\sqrt{(-2)\times(-2)}=\sqrt{4}=2\)

となってしまいます。

しかし、\(\sqrt{-2}\) は2乗すると \(-2\) になる数なので、答えは \(-2\) でなければおかしいです。

そこで、先に \(\sqrt{-2}={\color{#45A3DA}{\sqrt{2}\,i}}\) と直してから計算します。

\(\sqrt{-2}\times\sqrt{-2}={\color{#45A3DA}{\sqrt{2}\,i\times\sqrt{2}\,i}}=2{\color{#EE4656}{i^2}}={\color{#EE4656}{-2}}\)

複素数の足し算・引き算・掛け算

複素数の計算では、\(i\) を普段の文字 \(x\) などと同じように扱って計算します。

ただし、\(i^2\) が出てきたら \(-1\) に置きかえることだけが違います。

たとえば \((3+i)+(1+4i)\) は、実部どうし・虚部どうしをまとめて \((3+1)+(1+4)i=4+5i\) となります。

文字式で同類項をまとめるのと同じです。

複素数の足し算・引き算・掛け算

(1) は、まず計算のルール [1] にしたがって \(\sqrt{-3}={\color{#45A3DA}{\sqrt{3}\,i}}\)、\(\sqrt{-5}={\color{#45A3DA}{\sqrt{5}\,i}}\) と直します。

そのあとは、実部どうし・虚部どうしをまとめます。

(2) は、文字式の展開と同じように計算し、最後に \({\color{#EE4656}{i^2}}\) を \({\color{#EE4656}{-1}}\) に置きかえます。

\((1+2i)(4+i)=4+i+8i+2{\color{#EE4656}{i^2}}=4+9i\mathbin{\color{#EE4656}{-}}2=2+9i\)

共役な複素数と割り算

共役な複素数

\(2+5i\) と \(2-5i\) のように、実部が同じで虚部の符号だけが違う2つの複素数を、互いに共役な複素数といいます。

複素数 \(\alpha\) と共役な複素数は \(\overline{\alpha}\) で表します。

この2つを足したり掛けたりしてみましょう。

\((2+5i)+(2-5i)=4\)

\((2+5i)(2-5i)=4-25{\color{#EE4656}{i^2}}=4\mathbin{\color{#EE4656}{+}}25=29\)

どちらも \(i\) が消えて実数になりました。

\(a,\ b\) を実数として文字で計算すると、\((a+bi)+(a-bi)=2a\)、\((a+bi)(a-bi)=a^2-b^2i^2=a^2+b^2\) となり、互いに共役な複素数の和と積は、常に実数になります。

共役な複素数を使って割り算をする

分母に \(i\) があるときは、共役な複素数の積が実数になることを利用します。

分母 \(1+2i\) と共役な \(1-2i\) を、分母と分子の両方に掛けると、分母が実数になります。

練習問題

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(1)　\(\sqrt{-5}={\color{#EE4656}{\sqrt{5}\,i}}\)

(2)　\(\sqrt{-9}=\sqrt{9}\,i={\color{#EE4656}{3i}}\)

(3)　\(\pm\sqrt{18}\,i={\color{#EE4656}{\pm3\sqrt{2}\,i}}\)

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(1)　\(\sqrt{-2}\sqrt{-6}=\sqrt{2}\,i\times\sqrt{6}\,i=\sqrt{12}\,i^2={\color{#EE4656}{-2\sqrt{3}}}\)

(2)　\(\frac{\sqrt{-3}}{\sqrt{-4}}=\frac{\sqrt{3}\,i}{2i}={\color{#EE4656}{\frac{\sqrt{3}}{2}}}\)

(3)　\(\frac{\sqrt{-8}}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}\,i}{\sqrt{2}}={\color{#EE4656}{2i}}\)

(4)　\(\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{-5}}=\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}\,i}=\frac{3}{i}=\frac{3i}{i^2}={\color{#EE4656}{-3i}}\)

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(1)　\((2+4)+(3+1)i={\color{#EE4656}{6+4i}}\)

(2)　\((-1+3)+(2-4)i={\color{#EE4656}{2-2i}}\)

(3)　\((6-3)+(4-2)i={\color{#EE4656}{3+2i}}\)

(4)　\((2-2)+(-3+2)i={\color{#EE4656}{-i}}\)

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(1)　\(4+3i+8i+6i^2=4+11i-6={\color{#EE4656}{-2+11i}}\)

(2)　\(6+8i-3i-4i^2=6+5i+4={\color{#EE4656}{10+5i}}\)

(3)　\(4+12i+9i^2=4+12i-9={\color{#EE4656}{-5+12i}}\)

(4)　\(9-16i^2=9+16={\color{#EE4656}{25}}\)

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(1)　\({\color{#EE4656}{2-3i}}\)　　(2)　\({\color{#EE4656}{1+i}}\)

(3)　\({\color{#EE4656}{-\sqrt{3}\,i}}\)　　(4)　\({\color{#EE4656}{\frac{-1-\sqrt{3}\,i}{2}}}\)

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(1)

\(\begin{aligned}\frac{(1+2i)(2-3i)}{(2+3i)(2-3i)}&=\frac{2-3i+4i-6i^2}{4-9i^2}\\[8pt]&=\frac{8+i}{13}={\color{#EE4656}{\frac{8}{13}+\frac{1}{13}i}}\end{aligned}\)

(2)

\(\frac{(1-i)^2}{(1+i)(1-i)}=\frac{1-2i+i^2}{1-i^2}=\frac{-2i}{2}={\color{#EE4656}{-i}}\)

(3)

\(\frac{5i(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\frac{10i+5i^2}{4-i^2}=\frac{-5+10i}{5}={\color{#EE4656}{-1+2i}}\)

まとめ：複素数の四則計算と共役複素数