【数学Ⅱ】複素数と方程式03：複素数の相等

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

複素数の相等とは？

たとえば、\(3+4i=c+di\)（\(c,\ d\) は実数）が成り立つとき、\(c\) と \(d\) はいくつでしょうか。

左辺と右辺を見比べると、\(c=3,\ d=4\) と考えるのが自然です。

このように、2つの複素数が等しいとは、実部どうしと虚部どうしがそれぞれ等しいことと定めます。

これを複素数の相等といいます。

\(a+bi=c+di\ \Leftrightarrow\ a=c\) かつ \(b=d\)

特に右辺が \(0\) のときは、\(0=0+0i\) と考えて、実部も虚部も \(0\) になります。

\(a+bi=0\ \Leftrightarrow\ a=0\) かつ \(b=0\)

「実数である」ことが大切

この性質は、\(a,\ b,\ c,\ d\) が実数のときにしか使えません。

たとえば \(a=1,\ b=i\) とすると、\(a+bi=1+i\cdot i=1-1=0\) となりますが、\(a\neq0,\ b\neq0\) です。

このように、\(b\) が虚数だと実部と虚部をうまく分けられないので、記述式の問題では「実部・虚部にあたる式が実数である」ことを必ず書きます。

等式を満たす実数x, yを求める

まず、\(x,\ y\) は実数なので、\({\color{#45A3DA}{x+y}}\) と \({\color{#E9548E}{x+2}}\) も実数です。

したがって、\({\color{#45A3DA}{x+y}}\) が実部、\({\color{#E9548E}{x+2}}\) が虚部となります。

右辺は \(0\) なので、複素数の相等より、実部も虚部も \(0\) になります。

\({\color{#45A3DA}{x+y=0}}\)　かつ　\({\color{#E9548E}{x+2=0}}\)

2つ目の式から \(x=-2\) となり、これを1つ目の式に代入すると \(y=2\) です。

よって、\({\color{#EE4656}{x=-2,\ y=2}}\) となります。

練習問題

答えを見る

(1)　\(x,\ y\) は実数であるから、\(x-3\)、\(x+y\) も実数である。

よって　\(x-3=0\) かつ \(x+y=0\)

これを解いて　\({\color{#EE4656}{x=3,\ y=-3}}\)

(2)　\(x,\ y\) は実数であるから、\(x-2y\)、\(2x-3y\) も実数である。

よって　\(x-2y=4\) かつ \(2x-3y=7\)

これを解いて　\({\color{#EE4656}{x=2,\ y=-1}}\)

まとめ：複素数の相等