【数学Ⅱ】複素数と方程式04：2次方程式の解の公式と虚数解

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

根号の中が負でも解ける

数学Ⅰでは、\(x^2=-4\) のような方程式は「解なし」としていました。

しかし、複素数の範囲で考えると、\((2i)^2=-4\)、\((-2i)^2=-4\) なので、\(x=\pm2i\) という解をもちます。

同じように、\(x^2+2x+5=0\) を平方完成で解いてみましょう。

\((x+1)^2=-4\)　より　\(x+1=\pm2i\)　なので　\(x=-1\pm2i\)

このように、実数ではない解を虚数解といいます。

これに対して、実数の解を実数解といいます。

2次方程式の解の公式

平方完成を文字のまま行うと、2次方程式 \(ax^2+bx+c=0\)（\(a,\ b,\ c\) は実数）の解の公式が得られます。

この公式は、複素数の範囲では根号の中が負のときにも使えます。

\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

また、\(x\) の係数が偶数で \(b=2b’\) と表せるときは、約分した次の公式を使うと計算が楽になります。

\(x=\frac{-b’\pm\sqrt{b’^2-ac}}{a}\)

虚数解をもつ2次方程式を解く

\(a=3,\ b=-7,\ c=5\) を解の公式に代入します。

根号の中は \((-7)^2-4\cdot3\cdot5=49-60=-11\) となり負の数ですが、\(\sqrt{-11}=\sqrt{11}\,i\) と直せば答えが求まります。

練習問題

答えを見る

(1)　\(x=\frac{-3\pm\sqrt{9-16}}{2}={\color{#EE4656}{\frac{-3\pm\sqrt{7}\,i}{2}}}\)

(2)　\(b’=-2\) より　\(x=\frac{2\pm\sqrt{4-6}}{3}={\color{#EE4656}{\frac{2\pm\sqrt{2}\,i}{3}}}\)

(3)　\(x=\frac{-\sqrt{2}\pm\sqrt{2-4}}{2}={\color{#EE4656}{\frac{-\sqrt{2}\pm\sqrt{2}\,i}{2}}}\)

(4)　\(b’=-\sqrt{3}\) より　\(x=\sqrt{3}\pm\sqrt{3-4}={\color{#EE4656}{\sqrt{3}\pm i}}\)

まとめ：2次方程式の解の公式と虚数解