【数学Ⅱ】複素数と方程式07：2解の対称式・交代式の値

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

対称式とは？

\(\alpha^2+\beta^2\) の \(\alpha\) と \(\beta\) を入れ替えると \(\beta^2+\alpha^2\) となり、もとの式と同じです。

このように、文字を入れ替えても変わらない式を対称式といいます。

特に、\({\color{#EE4656}{\alpha+\beta}}\) と \({\color{#45A3DA}{\alpha\beta}}\) を基本対称式といいます。

2つの文字の対称式は、必ず基本対称式 \({\color{#EE4656}{\alpha+\beta}}\)、\({\color{#45A3DA}{\alpha\beta}}\) だけで表すことができます。

そして、2次方程式の2つの解の和と積は、解と係数の関係からすぐに分かります。

α²＋β² の変形

\((\alpha+\beta)^2=\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2\) なので、両辺から \(2\alpha\beta\) を引くと次の式が得られます。

\(\alpha^2+\beta^2={\color{#3CB371}{(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta}}\)

たとえば \(\alpha=1,\ \beta=3\) なら、左辺は \(1+9=10\)、右辺は \(4^2-2\cdot3=10\) となり、確かに一致します。

α³＋β³ の変形

\((\alpha+\beta)^3=\alpha^3+3\alpha^2\beta+3\alpha\beta^2+\beta^3=\alpha^3+\beta^3+3\alpha\beta(\alpha+\beta)\) なので、次の式が得られます。

\(\alpha^3+\beta^3={\color{#3CB371}{(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)}}\)

交代式とは？

\(\alpha-\beta\) の文字を入れ替えると \(\beta-\alpha=-(\alpha-\beta)\) となり、正負が逆になります。

このような式を交代式といいます。

交代式は2乗すると対称式になるので、いったん2乗して計算します。

\((\alpha-\beta)^2=\alpha^2-2\alpha\beta+\beta^2={\color{#3CB371}{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta}}\)

α²＋β²、α³＋β³の値を求める

まず、解と係数の関係より \({\color{#EE4656}{\alpha+\beta=4}}\)、\({\color{#45A3DA}{\alpha\beta=5}}\) です。

これを変形した式に代入します。

(1)　\(\alpha^2+\beta^2={\color{#3CB371}{(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta}}={\color{#EE4656}{4}}^2-2\cdot{\color{#45A3DA}{5}}=6\)

(2)　\(\alpha^3+\beta^3={\color{#3CB371}{(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)}}=4^3-3\cdot5\cdot4=4\)

交代式α−βの値を求める

\(\alpha-\beta\) は交代式なので、このままでは \(\alpha+\beta\) と \(\alpha\beta\) だけで表せません。

そこで、いったん2乗して対称式にしてから計算します。

解と係数の関係より、\({\color{#EE4656}{\alpha+\beta=6}}\)、\({\color{#45A3DA}{\alpha\beta=4}}\) です。

\((\alpha-\beta)^2={\color{#3CB371}{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta}}={\color{#EE4656}{6}}^2-4\cdot{\color{#45A3DA}{4}}=20\)

2乗すると \(20\) になるので、\(\alpha-\beta\) は \(\sqrt{20}\) か \(-\sqrt{20}\) のどちらかです。

\(\alpha>\beta\) より \(\alpha-\beta>0\) なので、\(\alpha-\beta=\sqrt{20}={\color{#EE4656}{2\sqrt{5}}}\) となります。

練習問題

答えを見る

解と係数の関係より　\({\color{#EE4656}{\alpha+\beta=-3}}\)　\({\color{#45A3DA}{\alpha\beta=-1}}\)

(1)　\((\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=9+2={\color{#EE4656}{11}}\)

(2)　\((\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)=-27-9={\color{#EE4656}{-36}}\)

(3)　\((\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=9+4={\color{#EE4656}{13}}\)

まとめ：2解の対称式・交代式の値