【数学Ⅱ】複素数と方程式08：複素数の範囲での2次式の因数分解

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

2次方程式の解と因数分解

\(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\) と因数分解できる2次式では、2次方程式 \(x^2-5x+6=0\) の解は \(x={\color{#EE4656}{2}},\ {\color{#EE4656}{3}}\) です。

因数分解の式の中に、解 \({\color{#EE4656}{2}},\ {\color{#EE4656}{3}}\) がそのまま現れています。

逆に考えると、2次方程式の解が分かれば、たすき掛けがうまくいかない2次式でも因数分解ができます。

なぜ a(x−α)(x−β) になるの？

2次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) の2つの解を \({\color{#EE4656}{\alpha}},\ {\color{#EE4656}{\beta}}\) とします。

まず \(a\) をくくり出し、解と係数の関係 \(\frac{b}{a}=-(\alpha+\beta)\)、\(\frac{c}{a}=\alpha\beta\) を使います。

2次式を複素数の範囲で因数分解する

(1) 実数の解をもつとき

\(2x^2-2x-1\) は、たすき掛けでは因数分解できません。

そこで、2次方程式 \(2x^2-2x-1=0\) を解の公式で解くと、\(x={\color{#EE4656}{\frac{1\pm\sqrt{3}}{2}}}\) となります。

\(x^2\) の係数が \(2\) なので、先頭に \(2\) を付けて因数分解します。

(2) 虚数の解をもつとき

2次方程式 \(x^2-2x+4=0\) を解くと、\(x={\color{#EE4656}{1\pm\sqrt{3}\,i}}\) となります。

複素数の範囲で考えると、虚数解を使っても因数分解できます。

\(x^2-2x+4=(x-1-\sqrt{3}\,i)(x-1+\sqrt{3}\,i)\)

練習問題

答えを見る

(1)　\(x^2-3x-2=0\) の解は \(x=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2}\) より

\({\color{#EE4656}{\left(x-\frac{3+\sqrt{17}}{2}\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{17}}{2}\right)}}\)

(2)　\(2x^2-2x-3=0\) の解は \(x=\frac{1\pm\sqrt{7}}{2}\) より

\({\color{#EE4656}{2\left(x-\frac{1+\sqrt{7}}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{7}}{2}\right)}}\)

(3)　\(x^2+4x+6=0\) の解は \(x=-2\pm\sqrt{2}\,i\) より

\({\color{#EE4656}{(x+2-\sqrt{2}\,i)(x+2+\sqrt{2}\,i)}}\)

(4)　\(3x^2+5=0\) の解は \(x^2=-\frac{5}{3}\) より \(x=\pm\frac{\sqrt{15}}{3}i\) なので

\({\color{#EE4656}{3\left(x+\frac{\sqrt{15}}{3}i\right)\left(x-\frac{\sqrt{15}}{3}i\right)}}\)

まとめ：複素数の範囲での2次式の因数分解