【数学Ⅱ】複素数と方程式12：2次以上の式で割ったときの余り

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

余りを ax＋b とおく理由

割り算では、余りの次数は割る式の次数より必ず小さくなります。

たとえば \(x^2+1\) を \(x-1\) で割ると余りは \(2\)（定数）であり、1次式で割った余りは定数です。

同じように、2次式で割った余りは1次以下の式になります。

そこで、余りを \(ax+b\) とおきます。

\(a=0\) なら定数になるので、この形で余りがどんな場合も表せます。

2次式で割った余りを求める

① 割り算の等式を作る

\(P(x)\) を \((x-1)(x+2)\) で割ったときの商を \(Q(x)\)、余りを \({\color{#EE4656}{ax+b}}\) とすると、次の等式が成り立ちます。

\(P(x)=(x-1)(x+2)Q(x)+{\color{#EE4656}{ax+b}}\)　…①

② 商が消える値を代入する

問題文の条件を、剰余の定理を使って式にします。

\(x-1\) で割った余りが \(5\) なので \({\color{#45A3DA}{P(1)=5}}\)、\(x+2\) で割った余りが \(-1\) なので \({\color{#45A3DA}{P(-2)=-1}}\) です。

①の両辺に \(x=1\) と \(x=-2\) を代入すると、どちらも \((x-1)(x+2)\) が \(0\) になるので、商 \(Q(x)\) の部分が消えます。

\(P(1)=a+b={\color{#45A3DA}{5}}\)

\(P(-2)=-2a+b={\color{#45A3DA}{-1}}\)

この連立方程式を解くと、上の式から下の式を引いて \(3a=6\) より \(a=2\)、これを代入して \(b=3\) となります。

よって、求める余りは \({\color{#EE4656}{2x+3}}\) です。

練習問題

答えを見る

\(P(x)\) を \((x-3)(x+1)\) で割ったときの商を \(Q(x)\) とすると

\(P(x)=(x-3)(x+1)Q(x)+ax+b\)　とおける。

条件より　\(P(3)=1\)　\(P(-1)=5\)

よって　\(3a+b=1\)　\(-a+b=5\)

これを解いて　\(a=-1,\ b=4\)

したがって、求める余りは　\({\color{#EE4656}{-x+4}}\)

まとめ：2次以上の式で割ったときの余り