【数学Ⅱ】複素数と方程式13：高次方程式

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

高次方程式は因数分解で解く

3次以上の方程式を高次方程式といいます。

高次方程式には2次方程式の解の公式のような便利な公式がないので、因数分解して2次以下の方程式に帰着させて解きます。

因数分解できれば、\(AB=0\ \Leftrightarrow\ A=0\) または \(B=0\) を使って、1次方程式や2次方程式に分けて解けます。

因数分解の方法は、次の3つが基本です。

• 公式を使って因数分解する
• \(x^2=X\) などとおきかえて因数分解する
• 因数定理を使って、\(P(x)=0\) となる \(x\) の値を見つける

3次・4次方程式を解く

(1) 公式を使う

\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\) を使うと、\(x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)\) と因数分解できます。

\(x-1=0\) より　\(x=1\)

\(x^2+x+1=0\) より　\(x=\frac{-1\pm\sqrt{1-4}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{3}\,i}{2}\)

よって、解は \({\color{#EE4656}{x=1,\ \frac{-1\pm\sqrt{3}\,i}{2}}}\) です。

(2) おきかえを使う

\(x^4-x^2-2\) は \(x^2\) のかたまりだけでできているので、\(x^2=X\) とおくと \(X^2-X-2\) という2次式になります。

\(X^2-X-2=(X-2)(X+1)=0\)

\(X\) をもとに戻すと \((x^2-2)(x^2+1)=0\) なので、\(x^2=2\) または \(x^2=-1\) となり、\({\color{#EE4656}{x=\pm\sqrt{2},\ \pm i}}\) です。

(3) 因数定理を使う

\(P(x)=x^3-4x^2+8\) は公式もおきかえも使えないので、因数定理を利用します。

\(P(x)=0\) となる \(x\) を、「\(\pm\)（定数項の約数）÷（最高次の項の係数の約数）」の中から探します。

定数項 \(8\) の約数は \(1,\ 2,\ 4,\ 8\)、最高次の項の係数は \(1\) なので、候補は \(x=\pm1,\ \pm2,\ \pm4,\ \pm8\) です。

順に代入すると、\(P(1)=5\)、\(P(-1)=3\)、\({\color{#EE4656}{P(2)=8-16+8=0}}\) となります。

因数定理より、\(P(x)\) は \({\color{#45A3DA}{x-2}}\) を因数にもちます。

\(P(x)\) を \(x-2\) で割ると、商は \(x^2-2x-4\) になります。

\(({\color{#45A3DA}{x-2}})(x^2-2x-4)=0\)

\(x^2-2x-4=0\) を解くと \(x=1\pm\sqrt{1+4}=1\pm\sqrt{5}\) なので、解は \({\color{#EE4656}{x=2,\ 1\pm\sqrt{5}}}\) です。

練習問題

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(1)　\(P(1)=0\) より　\({\color{#EE4656}{(x-1)(x+2)(x-4)}}\)

(2)　\(P(-1)=0\) より　\({\color{#EE4656}{(x+1)(x-3)^2}}\)

(3)　\(P(2)=0\) より　\({\color{#EE4656}{(x-2)(x+3)(2x+1)}}\)

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(1)　\((x-2)(x^2+2x+4)=0\) より　\({\color{#EE4656}{x=2,\ -1\pm\sqrt{3}\,i}}\)

(2)　\((x+1)(x^2-x+1)=0\) より　\({\color{#EE4656}{x=-1,\ \frac{1\pm\sqrt{3}\,i}{2}}}\)

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(1)　\((x^2+4)(x^2-3)=0\) より　\({\color{#EE4656}{x=\pm2i,\ \pm\sqrt{3}}}\)

(2)　\((x^2-1)(x^2+1)=0\) より　\({\color{#EE4656}{x=\pm1,\ \pm i}}\)

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(1)　\(P(2)=0\) より　\((x-2)(2x^2+x+2)=0\)

よって　\({\color{#EE4656}{x=2,\ \frac{-1\pm\sqrt{15}\,i}{4}}}\)

(2)　\(P(1)=0\) より　\((x-1)(x+2)(x+3)=0\)

よって　\({\color{#EE4656}{x=1,\ -2,\ -3}}\)

(3)　\(P(-1)=0\) より　\((x+1)^2(x+2)=0\)

よって　\({\color{#EE4656}{x=-1,\ -2}}\)

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(1)　\(P(-2)=0\) より　\((x+2)(x^2-x+3)=0\)

よって　\({\color{#EE4656}{x=-2,\ \frac{1\pm\sqrt{11}\,i}{2}}}\)

(2)　\((x^2+4)^2=0\) より　\({\color{#EE4656}{x=\pm2i}}\)

(3)　\(x(x^3+8)=x(x+2)(x^2-2x+4)=0\)

よって　\({\color{#EE4656}{x=0,\ -2,\ 1\pm\sqrt{3}\,i}}\)

(4)　\((x-3)^3=0\) より　\({\color{#EE4656}{x=3}}\)

まとめ：高次方程式