今日の板書はこれ！
■ 組立除法
\(x\) の係数が \(1\) の1次式 \(x-p\) で割ったときの、商と余りを求める方法。
- [1] 左に \(x-p=0\) の解 \({\color{#EE4656}{p}}\) を書き、その横に係数を書く。存在しない次数の部分には \(0\) を書く。
- [2] 最高次の項の係数をそのまま下に書く。それと \({\color{#EE4656}{p}}\) との積を次の係数の下に書き、上下を足す。以降これを繰り返す。
- [3] 3行目の一番右が余りであり、それ以外が商の各項の係数である。
\(x^3-2x^2+3x-9\) を \(x-3\) で割った商と余りを求めよ。
▼ 解答
\(\begin{array}{r|rrrr}{\color{#EE4656}{3}} & 1 & -2 & 3 & -9 \\ & & 3 & 3 & 18 \\ \hline & 1 & 1 & 6 & {\color{#E9548E}{9}}\end{array}\)
よって 商 \({\color{#45A3DA}{x^2+x+6}}\)、余り \({\color{#E9548E}{9}}\)
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組立除法の手順
高次方程式を解くときには、\(x-p\) で割る計算が何度も出てきます。
組立除法を使うと、\(x\) の係数が \(1\) の1次式 \(x-p\) で割ったときの商と余りを、係数だけで素早く求めることができます。
組立除法で商と余りを求める
\(x^3-2x^2+3x-9\) を \(x-3\) で割った商と余りを求めよ。
[1] 割る値と係数を書く
左に \(x-3=0\) の解 \({\color{#EE4656}{3}}\) を書き、その横に割られる式の係数 \(1,\ -2,\ 3,\ -9\) を書きます。
次数が抜けている項があるときは、その部分に \(0\) を書いておきます。
2行目の下に横線を引きます。
\(\begin{array}{r|rrrr}{\color{#EE4656}{3}} & 1 & -2 & 3 & -9 \\ & & & & \\ \hline & & & &\end{array}\)
[2] 掛けて足すを繰り返す
最高次の項の係数 \(1\) を、そのまま3行目に下ろします。
この \(1\) と \({\color{#EE4656}{3}}\) の積 \(3\) を、次の係数 \(-2\) の下に書き、上下を足して \(1\) を3行目に書きます。
\(\begin{array}{r|rrrr}{\color{#EE4656}{3}} & 1 & -2 & 3 & -9 \\ & & 3 & & \\ \hline & 1 & 1 & &\end{array}\)
同じように、\(1\times{\color{#EE4656}{3}}=3\) を \(3\) の下に書いて足すと \(6\)、\(6\times{\color{#EE4656}{3}}=18\) を \(-9\) の下に書いて足すと \(9\) になります。
\(\begin{array}{r|rrrr}{\color{#EE4656}{3}} & 1 & -2 & 3 & -9 \\ & & 3 & 3 & 18 \\ \hline & 1 & 1 & 6 & {\color{#E9548E}{9}}\end{array}\)
[3] 商と余りを読み取る
3行目の一番右の \({\color{#E9548E}{9}}\) が余りです。
それ以外の \({\color{#45A3DA}{1,\ 1,\ 6}}\) が商の各項の係数で、3次式を1次式で割ったので商は2次式になります。
商 \({\color{#45A3DA}{x^2+x+6}}\)、余り \({\color{#E9548E}{9}}\)
「下ろす → 掛ける → 足す」のリズムで計算しよう！
商を \(x^2+qx+r\)、余りを \(R\) とおくと、\(x^3-2x^2+3x-9=(x-3)(x^2+qx+r)+R\) が成り立ちます。
右辺を展開すると \(x^3+(q-3)x^2+(r-3q)x+(R-3r)\) となります。
両辺の係数を比べると、\(q-3=-2\) より \(q=-2+3\times1=1\)、\(r-3q=3\) より \(r=3+3\times1=6\)、\(R-3r=-9\) より \(R=-9+3\times6=9\) です。
どの式も「上の係数 ＋ 3 × 一つ前の結果」という形になっており、これが組立除法の「掛けて足す」計算そのものなのです。
筆算よりずっと速く計算できるね！
練習問題
\(x^3-4x^2+3\) を \(x-1\) で割った商と余りを求めよ。
答えを見る
\(x\) の項がないので、係数に \(0\) を入れる。
\(\begin{array}{r|rrrr}1 & 1 & -4 & 0 & 3 \\ & & 1 & -3 & -3 \\ \hline & 1 & -3 & -3 & 0\end{array}\)
よって 商 \({\color{#EE4656}{x^2-3x-3}}\)、余り \({\color{#EE4656}{0}}\)
まとめ：組立除法
さて、今回のまとめだよ！
■ 組立除法
\(x\) の係数が \(1\) の1次式 \(x-p\) で割ったときの、商と余りを求める方法。
- [1] 左に \(x-p=0\) の解 \({\color{#EE4656}{p}}\) を書き、その横に係数を書く。存在しない次数の部分には \(0\) を書く。
- [2] 最高次の項の係数をそのまま下に書く。それと \({\color{#EE4656}{p}}\) との積を次の係数の下に書き、上下を足す。以降これを繰り返す。
- [3] 3行目の一番右が余りであり、それ以外が商の各項の係数である。
また一つ賢くなった！
一人だと続かない人は、こんな方法もあるよ！
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