【数学Ⅱ】複素数と方程式15：3次方程式の解から係数決定

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

方法①　解を代入して複素数の相等を使う

\(x={\color{#45A3DA}{1+2i}}\) が解であるということは、方程式に代入すると等式が成り立つということです。

代入して整理すると「\(A+Bi=0\)」の形になるので、複素数の相等を使って \(a,\ b\) を求めます。

虚数解から係数と他の解を求める

1＋2i を代入する

先に \((1+2i)^2\) と \((1+2i)^3\) を計算しておきます。

\((1+2i)^2=1+4i+4i^2=-3+4i\)

\((1+2i)^3=(1+2i)(-3+4i)=-3+4i-6i+8i^2=-11-2i\)

これらを方程式に代入して、実部と虚部に分けて整理します。

複素数の相等を使う

\(a,\ b\) は実数なので、\(a+b-2\) と \(2a-14\) も実数です。

複素数の相等より、実部も虚部も \(0\) になります。

\({\color{#EE4656}{a+b-2=0}}\)　かつ　\({\color{#EE4656}{2a-14=0}}\)

これを解くと、\(a=7,\ b=-5\) です。

他の解を求める

このとき、3次方程式は \(x^3-3x^2+7x-5=0\) となります。

\(x=1\) を代入すると \(1-3+7-5=0\) なので、\(x-1\) を因数にもちます。

組立除法で割ると、商は \(x^2-2x+5\) です。

\((x-1)(x^2-2x+5)=0\)　より　\(x=1,\ 1\pm2i\)

よって、\({\color{#EE4656}{a=7,\ b=-5}}\)、他の解は \({\color{#EE4656}{x=1,\ 1-2i}}\) です。

方法②　共役な複素数を使う

たとえば、2次方程式 \(x^2-2x+5=0\) の解は \(x=1\pm2i\) で、互いに共役な複素数になっています。

実数係数の方程式が虚数解 \(a+bi\) をもつとき、共役な複素数 \(a-bi\) も解にもちます。

共役な複素数を使って係数と他の解を求める

1−2i も解になる

実数係数の3次方程式が \(1+2i\) を解にもつので、共役な複素数 \(1-2i\) も解です。

2つの解の和は \(2\)、積は \(5\) なので、この2つを解とする2次方程式は \(x^2-2x+5=0\) です。

したがって、方程式の左辺は \(x^2-2x+5\) で割り切れます。

係数を比べる

残りの解を \(\gamma\) とすると、次のように表せます。

\(x^3-3x^2+ax+b=(x^2-2x+5)(x-\gamma)\)

右辺を展開すると \(x^3-(\gamma+2)x^2+(2\gamma+5)x-5\gamma\) です。

両辺の係数を比べると、\(\gamma+2=3\)、\(a=2\gamma+5\)、\(b=-5\gamma\) となります。

\(\gamma=1\) より、\({\color{#EE4656}{a=7,\ b=-5}}\)、他の解は \({\color{#EE4656}{x=1,\ 1-2i}}\) です。

練習問題

答えを見る

\((1+i)^2=2i\)、\((1+i)^3=2i(1+i)=-2+2i\) であるから、\(x=1+i\) を代入すると

\((-2+2i)+2i+a(1+i)+b=0\)

整理すると　\((a+b-2)+(a+4)i=0\)

\(a+b-2,\ a+4\) は実数であるから　\(a+b-2=0,\ a+4=0\)

よって　\({\color{#EE4656}{a=-4,\ b=6}}\)

このとき　\(x^3+x^2-4x+6=(x+3)(x^2-2x+2)=0\)

よって、他の解は　\({\color{#EE4656}{x=-3,\ 1-i}}\)

まとめ：3次方程式の解から係数決定