【高校数学Ⅱ】「図形と方程式」まとめページ｜定義・公式を分かりやすく完全解説

■ 2点 \(\mathrm{A}(a),\ \mathrm{B}(b)\) 間の距離
\(\mathrm{AB}=|b-a|\)

■ 線分ABを m：n に内分する点
\(x=\frac{{\color{#45A3DA}{n}}a+{\color{#E9548E}{m}}b}{m+n}\)

■ 線分ABの中点（1：1に内分する点）
\(x=\frac{a+b}{2}\)

■ 線分ABを m：n に外分する点
\(x=\frac{-{\color{#45A3DA}{n}}a+{\color{#E9548E}{m}}b}{m-n}\)

■ 2点 \(\mathrm{A}(x_1,\ y_1),\ \mathrm{B}(x_2,\ y_2)\) 間の距離
\(\mathrm{AB}=\sqrt{({\color{#45A3DA}{x_2-x_1}})^2+({\color{#E9548E}{y_2-y_1}})^2}\)

■ 原点 \(\mathrm{O}\) と点 \(\mathrm{A}(x_1,\ y_1)\) の距離
\(\mathrm{OA}=\sqrt{x_1^2+y_1^2}\)

■ 座標を使った証明の手順
図形の頂点を、一般性を失わないように座標平面上にとる。0 が多く、文字が少なくなるようにとると計算が楽になる。

■ 2点 \(\mathrm{A}(x_1,\ y_1),\ \mathrm{B}(x_2,\ y_2)\) を結ぶ線分を m：n に内分する点
\(\mathrm{P}\left(\frac{{\color{#45A3DA}{n}}x_1+{\color{#E9548E}{m}}x_2}{m+n},\ \frac{ny_1+my_2}{m+n}\right)\)

■ 線分ABの中点
\(\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)

■ 線分ABを m：n に外分する点
\(\mathrm{Q}\left(\frac{-{\color{#45A3DA}{n}}x_1+{\color{#E9548E}{m}}x_2}{m-n},\ \frac{-ny_1+my_2}{m-n}\right)\)

■ 3点 \(\mathrm{A}(x_1,\ y_1),\ \mathrm{B}(x_2,\ y_2),\ \mathrm{C}(x_3,\ y_3)\) を頂点とする \(\triangle\mathrm{ABC}\) の重心
\(\mathrm{G}\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\ \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)\)

■ 点に関する対称点
対称点を文字で設定し、次を利用する。

「点Aに関して点Pと点Qが対称」 \(\Leftrightarrow\) 「点Aが線分PQの中点」

■ [1] 基本形（傾き m、y切片 n）
\(y=mx+n\)

■ [1]′ 1点 \((x_1,\ y_1)\) を通り、傾き \(m\) の直線
\(y-y_1=m(x-x_1)\)

■ [1]″ 2点 \((x_1,\ y_1),\ (x_2,\ y_2)\) を通る直線
\(x_1\neq x_2\) のとき　\(y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)\)
\(x_1=x_2\) のとき　\(x=x_1\)

■ [2] 一般形
\(ax+by+c=0\)

■ [3] 切片形（x切片 a、y切片 b）
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)

■ 注意
傾きは　（yの増加量）÷（xの増加量）　である。y軸に平行な直線は傾きが存在しない。

■ 2直線 \(y=m_1x+n_1,\ y=m_2x+n_2\) の位置関係

① 平行条件
\(m_1=m_2\)

② 垂直条件
\(m_1m_2=-1\)

■ 直線に関して対称な点
対称点を文字で設定し、次の2条件を立式した後、連立する。

• 線分ABの中点が直線上にある
• 直線ABと直線ℓが垂直

■ 点 \((x_1,\ y_1)\) と直線 \(ax+by+c=0\) の距離 \(d\)
\(d=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

■ 覚え方
分母は直線の x, y の係数の2乗和のルート、分子は直線の式に点の座標を代入して絶対値をとったもの。

■ [1] 中心 \((a,\ b)\)、半径 \(r\) の円の方程式（基本形）
\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)

■ 特に、原点中心、半径 r の円の方程式
\(x^2+y^2=r^2\)

■ [2] 円の方程式（一般形）
\(x^2+y^2+lx+my+n=0\)

■ 三角形の外接円の方程式（座標平面上の異なる3点を通る円の方程式）
3点の座標から円の方程式を求める場合、一般形を利用する。

\(x^2+y^2+lx+my+n=0\)

■ 円と直線の位置関係の判別

• [1] 円の中心と直線の距離 \(d\) と、円の半径 \(r\) の大小関係を調べる（点と直線の距離の公式を利用）
• [2] 円の方程式と直線の方程式を連立し、判別式 \(D\) で実数解の個数を調べる

• 異なる2点で交わる：\({\color{#45A3DA}{d}}< {\color{#E9548E}{r}}\)、\({\color{#3CB371}{D}}>0\)
• 1点で接する：\({\color{#45A3DA}{d}}={\color{#E9548E}{r}}\)、\({\color{#3CB371}{D}}=0\)
• 共有点なし：\({\color{#45A3DA}{d}}> {\color{#E9548E}{r}}\)、\({\color{#3CB371}{D}}<0\)

■ 円 \(x^2+y^2=r^2\) 上の点 \((x_1,\ y_1)\) における接線の方程式
\(x_1x+y_1y=r^2\)

■ 覚え方
円の方程式の2乗のうち、1つの \((x,\ y)\) を接点 \((x_1,\ y_1)\) に変えるだけ。

■ 円外の点から引いた接線の方程式
点Aは接点ではない。接点が不明な接線の問題では、最初に接点を文字で設定する。

■ 2つの円の位置関係（半径 \(r,\ r’\)、中心間の距離 \(d\)）
2円の半径と中心間の距離の関係で分類される。

• 離れている：\({\color{#3CB371}{d}}> r+r’\)（共通接線4本）
• 外接する：\({\color{#3CB371}{d}}=r+r’\)（共通接線3本）
• 2点で交わる：\(|r-r’|< {\color{#3CB371}{d}}< r+r’\)（共通接線2本）
• 内接する：\({\color{#3CB371}{d}}=|r-r’|\)（共通接線1本）
• 一方が他方の内部にある：\({\color{#3CB371}{d}}<|r-r’|\)（共通接線0本）

■ 2つの円の共有点の座標
図形における共有点は、連立方程式の実数解である。

■ 軌跡
求める軌跡上の点を \((x,\ y)\) とし、その点が満たす条件を立式する。

■ 注意
軌跡を含むすべての図形は、数学的には「条件を満たす点の集合」である。

■ 連動点の軌跡（ある動点Qに連動する点Pの軌跡）

• [1] 途中の動点Qと、軌跡上の動点Pを文字でおく
• [2] 点P、Qが満たすべき条件式をすべて列挙する
• [3] 不要な文字を消去し、P(x, y) の関係式を導く