【数学Ⅱ】図形と方程式01：直線上の点

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

数直線上の2点間の距離

数直線上で、点 \(\mathrm{A}\) の座標が \(a\) のとき、これを \(\mathrm{A}(a)\) と書きます。

2点 \(\mathrm{A}(a),\ \mathrm{B}(b)\) の間の距離は、座標の差の絶対値で求められます。

\(\mathrm{AB}=|b-a|\)

たとえば \(\mathrm{A}(1),\ \mathrm{B}(7)\) なら \(\mathrm{AB}=|7-1|=6\) です。

差をとる順番を逆にして \(|1-7|=|-6|=6\) としても、同じ値になります。

数直線上の2点間の距離を求める

座標の差をとって絶対値をつけます。

\(\mathrm{AB}=|2-5|=|-3|={\color{#EE4656}{3}}\)

線分を m：n に内分する点

線分 \(\mathrm{AB}\) 上の点 \(\mathrm{P}\) が \(\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=m:n\) を満たすとき、点 \(\mathrm{P}\) は線分 \(\mathrm{AB}\) を \(m:n\) に内分するといいます。

このとき点 \(\mathrm{P}\) を内分点といいます。

内分点の座標は、次の公式で求められます。

\(x=\frac{{\color{#45A3DA}{n}}a+{\color{#E9548E}{m}}b}{m+n}\)

内分点の座標を求める

\({\color{#E9548E}{m}}=3,\ {\color{#45A3DA}{n}}=1\) を内分の式に代入します。

内分点の公式　\(x=\frac{{\color{#45A3DA}{n}}a+{\color{#E9548E}{m}}b}{m+n}\)

\(x=\frac{{\color{#45A3DA}{1}}\cdot(-2)+{\color{#E9548E}{3}}\cdot6}{3+1}=\frac{16}{4}={\color{#EE4656}{4}}\)

特に \(m:n=1:1\) のときが線分の中点です。

式に \(m=n=1\) を代入すると、2つの座標の平均になります。

\(x=\frac{a+b}{2}\)

中点の座標を求める

2つの座標の平均なので　\(x=\frac{-2+6}{2}={\color{#EE4656}{2}}\)　となります。

内分点の公式の導出

点 \(\mathrm{P}\) の座標を \(x\) とおくと、\(\mathrm{AP}=|x-a|,\ \mathrm{PB}=|b-x|\) なので、\(|x-a|:|b-x|={\color{#E9548E}{m}}:{\color{#45A3DA}{n}}\) です。

比の外側どうし・内側どうしをかけて、\({\color{#45A3DA}{n}}|x-a|={\color{#E9548E}{m}}|b-x|\) となります。

点 \(\mathrm{P}\) は \(\mathrm{A}\) と \(\mathrm{B}\) の間にあるので、\(x-a\) と \(b-x\) は同符号です。

そのため絶対値をそのまま外せて、\({\color{#45A3DA}{n}}(x-a)={\color{#E9548E}{m}}(b-x)\) となります。

これを \(x\) について整理すると \((m+n)x={\color{#45A3DA}{n}}a+{\color{#E9548E}{m}}b\) となり、両辺を \(m+n\) でわると公式が得られます。

線分を m：n に外分する点

点 \(\mathrm{Q}\) が線分 \(\mathrm{AB}\) の延長上にあり、\(\mathrm{AQ}:\mathrm{QB}=m:n\) を満たすとき、点 \(\mathrm{Q}\) は線分 \(\mathrm{AB}\) を \(m:n\) に外分するといいます。

このとき点 \(\mathrm{Q}\) を外分点といいます。

外分点の座標は、次の公式で求められます。

なお、外分では \(m\neq n\) です。

\(x=\frac{-{\color{#45A3DA}{n}}a+{\color{#E9548E}{m}}b}{m-n}\)

外分点の座標を求める

外分の式に代入します。

外分点の公式　\(x=\frac{-{\color{#45A3DA}{n}}a+{\color{#E9548E}{m}}b}{m-n}\)

\(a\) にかける数にマイナスがつくことに注意します。

\(x=\frac{-{\color{#45A3DA}{1}}\cdot(-2)+{\color{#E9548E}{3}}\cdot6}{3-1}=\frac{20}{2}={\color{#EE4656}{10}}\)

外分点の公式の導出

点 \(\mathrm{Q}\) の座標を \(x\) とおくと、内分のときと同じように \({\color{#45A3DA}{n}}|x-a|={\color{#E9548E}{m}}|b-x|\) となります。

ところが点 \(\mathrm{Q}\) は線分の外側にあるので、\(x-a\) と \(b-x\) は異符号です。

そのため絶対値を外すときにマイナスがつき、\(-{\color{#45A3DA}{n}}(x-a)={\color{#E9548E}{m}}(b-x)\) となります。

これを整理すると \((m-n)x=-{\color{#45A3DA}{n}}a+{\color{#E9548E}{m}}b\) となり、両辺を \(m-n\) でわると公式が得られます。

内分の式で \(n\) を \(-n\) に置きかえると外分の式になる、と覚えておくと便利です。

練習問題

答えを見る

(1)　\(\mathrm{AB}=|6-(-1)|={\color{#EE4656}{7}}\)

(2)　\(\mathrm{AB}=|2-4|={\color{#EE4656}{2}}\)

(3)　\(\mathrm{OA}=|-3-0|={\color{#EE4656}{3}}\)

答えを見る

(1)　\(\frac{2\cdot4+3\cdot8}{3+2}=\frac{32}{5}\)　より　\({\color{#EE4656}{\mathrm{C}\left(\frac{32}{5}\right)}}\)

(2)　\(\frac{-1\cdot4+3\cdot8}{3-1}=\frac{20}{2}=10\)　より　\({\color{#EE4656}{\mathrm{D}(10)}}\)

(3)　\(\frac{-3\cdot4+2\cdot8}{2-3}=\frac{4}{-1}=-4\)　より　\({\color{#EE4656}{\mathrm{E}(-4)}}\)

(4)　\(\frac{4+8}{2}=6\)　より　\({\color{#EE4656}{\mathrm{M}(6)}}\)

まとめ：直線上の点