【数学Ⅱ】図形と方程式02：座標平面上の2点間の距離

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

座標平面上の2点間の距離の公式

座標平面上の2点の距離は、2点を結ぶ線分を斜辺とする直角三角形をつくり、三平方の定理を使って求めます。

たとえば \(\mathrm{A}(1,\ 1),\ \mathrm{B}(4,\ 5)\) なら、\(\mathrm{A}\) から \(\mathrm{B}\) まで横に \({\color{#45A3DA}{4-1}}=3\)、縦に \({\color{#E9548E}{5-1}}=4\) 進みます。

この横と縦を2辺とする直角三角形の斜辺が \(\mathrm{AB}\) なので、\(\mathrm{AB}=\sqrt{3^2+4^2}=5\) です。

これを文字で考えると、横の長さは \({\color{#45A3DA}{x_2-x_1}}\)、縦の長さは \({\color{#E9548E}{y_2-y_1}}\) なので、次の公式になります。

\(\mathrm{AB}=\sqrt{({\color{#45A3DA}{x_2-x_1}})^2+({\color{#E9548E}{y_2-y_1}})^2}\)

2乗するので、引く順番が逆になっても結果は変わりません。

特に、原点 \(\mathrm{O}\) との距離は \(x_1=y_1=0\) にあたるので、\(\mathrm{OA}=\sqrt{x_1^2+y_1^2}\) となります。

2点間の距離を求める

(1) は横の差が \({\color{#45A3DA}{4-2}}=2\)、縦の差が \({\color{#E9548E}{3-(-1)}}=4\) です。

\(\mathrm{AB}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}={\color{#EE4656}{2\sqrt{5}}}\)

(2) は原点との距離なので、座標をそのまま2乗してたします。

\(\mathrm{OA}=\sqrt{2^2+(-1)^2}={\color{#EE4656}{\sqrt{5}}}\)

2点から等距離にある点を求める

まず、求める点の座標を文字で設定します。

点 \(\mathrm{P}\) は \(x\) 軸上にあるので、\(y\) 座標は \(0\) です。

そこで \(\mathrm{P}(x,\ 0)\) とおきます。

次に、条件「\(\mathrm{AP}=\mathrm{BP}\)」を式にします。

距離にはルートがついていて扱いにくいので、両辺を2乗した \(\mathrm{AP}^2=\mathrm{BP}^2\) を使います。

距離はどちらも正なので、2乗しても同じ条件です。

\(\{x-(-1)\}^2+(0-2)^2=(x-4)^2+(0-3)^2\)

左辺は \(x^2+2x+5\)、右辺は \(x^2-8x+25\) です。

\(x^2\) が消えるので　\(10x=20\)　より \(x=2\) となります。

よって　\({\color{#EE4656}{\mathrm{P}(2,\ 0)}}\)

練習問題

答えを見る

点 \(\mathrm{P}\) の座標を \((0,\ y)\) とおく。

\(\mathrm{AP}^2=\mathrm{BP}^2\) より

\(\{0-(-4)\}^2+(y-2)^2=(0-1)^2+\{y-(-1)\}^2\)

\(y^2-4y+20=y^2+2y+2\)　より　\(y=3\)

よって　\({\color{#EE4656}{\mathrm{P}(0,\ 3)}}\)

まとめ：座標平面上の2点間の距離