【数学Ⅱ】図形と方程式03：座標平面を利用した等式の証明

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

図形の性質を座標で証明する考え方

図形の性質を証明するとき、図形を座標平面上に置くと、長さを2点間の距離の公式で計算できるようになります。

図形の問題を「式の計算」に置きかえられるのが、座標を使う強みです。

ただし、頂点の座標はどのように置いてもよいわけではありません。

どんな三角形にもあてはまるように、一般性を失わない置き方をする必要があります。

そのうえで、座標に \(0\) が多く、文字が少なくなるように置くと、計算がぐっと楽になります。

辺 \(\mathrm{BC}\) を \(x\) 軸の上に、中点などの基準になる点を原点に置くのが定番です。

中線定理を座標で証明する

辺 \(\mathrm{BC}\) を \(x\) 軸上に置き、中点 \(\mathrm{M}\) が原点になるようにします。

そこで、\(\mathrm{B}(-c,\ 0),\ \mathrm{C}(c,\ 0)\ (c>0)\) とおき、残りの頂点を \(\mathrm{A}(a,\ b)\) とします。

\(\mathrm{A}\) は \(a,\ b\) の2文字で自由に動かせるので、どんな三角形でも表せます。

これで一般性は失われていません。

あとは、左辺と右辺をそれぞれ計算して、同じ式になることを示します。

\(\mathrm{AB}^2+\mathrm{AC}^2=\{a-(-c)\}^2+b^2+(a-c)^2+b^2={\color{#45A3DA}{2(a^2+b^2+c^2)}}\)

右辺は、\(\mathrm{M}\) が原点なので \(\mathrm{AM}^2=a^2+b^2\)、\(\mathrm{BM}^2=c^2\) です。

\(2(\mathrm{AM}^2+\mathrm{BM}^2)=2(a^2+b^2+c^2)={\color{#E9548E}{2(a^2+b^2+c^2)}}\)

左辺と右辺が同じ式になったので、等式が成り立つことが示せました。

この等式は中線定理（パップスの定理）とよばれます。

練習問題

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座標平面上に \(\mathrm{A}(a,\ b),\ \mathrm{B}(0,\ 0),\ \mathrm{C}(2c,\ 0)\ (c>0)\) をとる。このとき \(\mathrm{M}(c,\ 0)\) である。

左辺は　\(a^2+b^2+(a-2c)^2+b^2={\color{#45A3DA}{2(a^2+b^2-2ac+2c^2)}}\)

右辺は　\(2\{(a-c)^2+b^2+c^2\}={\color{#E9548E}{2(a^2+b^2-2ac+2c^2)}}\)

よって　\(\mathrm{AB}^2+\mathrm{AC}^2=2(\mathrm{AM}^2+\mathrm{BM}^2)\)

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座標平面上に \(\mathrm{A}(a,\ b),\ \mathrm{B}(-c,\ 0),\ \mathrm{C}(2c,\ 0)\ (c>0)\) をとる。このとき \(\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=1:2\) より \(\mathrm{D}\) は原点となる。

左辺は　\(2\{(a+c)^2+b^2\}+(a-2c)^2+b^2={\color{#45A3DA}{3a^2+3b^2+6c^2}}\)

右辺は　\(3\{(a^2+b^2)+2c^2\}={\color{#E9548E}{3a^2+3b^2+6c^2}}\)

よって　\(2\mathrm{AB}^2+\mathrm{AC}^2=3(\mathrm{AD}^2+2\mathrm{BD}^2)\)

まとめ：座標平面を利用した等式の証明