【数学Ⅱ】図形と方程式04：内分点・外分点・三角形の重心の座標

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

座標平面上の内分点・外分点

座標平面上で線分を内分・外分する点は、\(x\) 座標と \(y\) 座標を別々に考えれば求められます。

点 \(\mathrm{A},\ \mathrm{P},\ \mathrm{B}\) から \(x\) 軸に垂線を下ろすと、平行線と線分の比の性質から、\(x\) 軸上の3点も同じ比 \({\color{#E9548E}{m}}:{\color{#45A3DA}{n}}\) に分けられます。

つまり \(x\) 座標だけを見れば、数直線上の内分点と同じ計算になります。

\(y\) 座標についても同じです。

そのため、数直線上の公式を \(x\) 座標と \(y\) 座標にそれぞれ使えば、内分点と外分点の座標が得られます。

\(\mathrm{P}\left(\frac{{\color{#45A3DA}{n}}x_1+{\color{#E9548E}{m}}x_2}{m+n},\ \frac{ny_1+my_2}{m+n}\right)\)

\(\mathrm{Q}\left(\frac{-{\color{#45A3DA}{n}}x_1+{\color{#E9548E}{m}}x_2}{m-n},\ \frac{-ny_1+my_2}{m-n}\right)\)

中点は \(m:n=1:1\) のときなので、\(x\) 座標も \(y\) 座標も2点の平均になります。

\(\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)

内分点・外分点の座標を求める

(1) は \({\color{#E9548E}{m}}=3,\ {\color{#45A3DA}{n}}=2\) を内分の公式に代入します。

\(x\) 座標と \(y\) 座標を順に計算します。

\(\left(\frac{2\cdot(-1)+3\cdot4}{3+2},\ \frac{2\cdot6+3\cdot1}{3+2}\right)={\color{#EE4656}{(2,\ 3)}}\)

(2) は外分なので、\(\mathrm{A}\) の座標にかける \(n=2\) にマイナスをつけ、分母は \(m-n=3\) になります。

\(\left(\frac{-2\cdot(-1)+5\cdot4}{5-2},\ \frac{-2\cdot6+5\cdot1}{5-2}\right)={\color{#EE4656}{\left(\frac{22}{3},\ -\frac{7}{3}\right)}}\)

三角形の重心の座標

三角形の重心 \(\mathrm{G}\) は、3本の中線が交わる点です。

重心は、中線を頂点の側から \(2:1\) に内分する点でもあります。

辺 \(\mathrm{BC}\) の中点を \(\mathrm{M}\) とすると、\(\mathrm{M}\) の \(x\) 座標は \(\frac{x_2+x_3}{2}\) です。

\(\mathrm{G}\) は線分 \(\mathrm{AM}\) を \(2:1\) に内分するので、\(\mathrm{G}\) の \(x\) 座標は次のようになります。

\(\frac{1\cdot x_1+2\cdot\frac{x_2+x_3}{2}}{2+1}=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}\)

\(y\) 座標も同じように計算できるので、重心の座標は次の公式で表されます。

\(\mathrm{G}\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\ \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)\)

練習問題

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(1)　\(\left(\frac{1\cdot(-3)+2\cdot4}{3},\ \frac{1\cdot2+2\cdot5}{3}\right)\)　より　\({\color{#EE4656}{\mathrm{C}\left(\frac{5}{3},\ 4\right)}}\)

(2)　\(\left(\frac{-1\cdot(-3)+2\cdot4}{2-1},\ \frac{-1\cdot2+2\cdot5}{2-1}\right)\)　より　\({\color{#EE4656}{\mathrm{D}(11,\ 8)}}\)

(3)　\(\left(\frac{-3\cdot(-3)+2\cdot4}{2-3},\ \frac{-3\cdot2+2\cdot5}{2-3}\right)\)　より　\({\color{#EE4656}{\mathrm{E}(-17,\ -4)}}\)

(4)　\(\left(\frac{-3+4}{2},\ \frac{2+5}{2}\right)\)　より　\({\color{#EE4656}{\mathrm{M}\left(\frac{1}{2},\ \frac{7}{2}\right)}}\)

答えを見る

(1)　\(\left(\frac{1+5+3}{3},\ \frac{1+2+4}{3}\right)={\color{#EE4656}{\left(3,\ \frac{7}{3}\right)}}\)

(2)　\(\left(\frac{-2+0+2}{3},\ \frac{4-3+1}{3}\right)={\color{#EE4656}{\left(0,\ \frac{2}{3}\right)}}\)

まとめ：内分点・外分点・三角形の重心の座標