【数学Ⅱ】図形と方程式05：点に関する対称点

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

点に関して対称とは？

点 \(\mathrm{A}\) を中心にして、点 \(\mathrm{P}\) をちょうど反対側に同じ距離だけ移した点を \(\mathrm{Q}\) とします。

このとき、点 \(\mathrm{Q}\) は点 \(\mathrm{A}\) に関して点 \(\mathrm{P}\) と対称であるといいます。

図を見ると、点Aは線分 \(\mathrm{PQ}\) のちょうど真ん中にあります。

つまり、次の2つは同じことを表しています。

「点Aに関して点Pと点Qが対称」 \(\Leftrightarrow\) 「点Aが線分PQの中点」

点に関して対称な点の座標を求める

求める点を文字で設定します。

点Qの座標を \((x,\ y)\) とおきます。

点Aが線分 \(\mathrm{PQ}\) の中点なので、中点の公式を使って、\(x\) 座標と \(y\) 座標についての式をそれぞれ立てます。

\(\frac{-2+x}{2}={\color{#45A3DA}{2}},\ \frac{3+y}{2}={\color{#45A3DA}{1}}\)

左の式から \(x=6\)、右の式から \(y=-1\) と求まります。

よって　\({\color{#EE4656}{\mathrm{Q}(6,\ -1)}}\)

練習問題

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点 \(\mathrm{Q}\) の座標を \((x,\ y)\) とおく。

\(\mathrm{A}\) は線分 \(\mathrm{PQ}\) の中点であるから

\(\frac{0+x}{2}=-3,\ \frac{-4+y}{2}=2\)

よって \(x=-6,\ y=8\) より　\({\color{#EE4656}{\mathrm{Q}(-6,\ 8)}}\)

まとめ：点に関する対称点