今日の板書はこれ！
■ [1] 中心 \((a,\ b)\)、半径 \(r\) の円の方程式（基本形）
\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)
■ 特に、原点中心、半径 r の円の方程式
\(x^2+y^2=r^2\)
■ [2] 円の方程式（一般形）
\(x^2+y^2+lx+my+n=0\)
点 \((5,\ -3)\) を中心とする半径 \(4\) の円の方程式を求めよ。
▼ 解答
\({\color{#EE4656}{(x-5)^2+(y+3)^2=16}}\)
方程式 \(x^2+y^2-6x+2y-6=0\) が表す図形を求めよ。
▼ 解答
\((x^2-6x)+(y^2+2y)-6=0\) より
\((x-3)^2-9+(y+1)^2-1-6=0\)
よって \((x-3)^2+(y+1)^2=4^2\)
これは、点 \((3,\ -1)\) を中心とする半径 \(4\) の円を表す。
もっと詳しく願いします！！
現役教員として数学を教えている「さん」と申します。
「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。
「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。
でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。
意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！
勉強してるのに点が取れない人は、こっちも読んでみて！
円の方程式（基本形）
円とは、1点からの距離が等しい点の集合です。
この「1点」が中心、「等しい距離」が半径です。
中心を \({\color{#45A3DA}{(a,\ b)}}\)、半径を \({\color{#E9548E}{r}}\) とし、円周上の点を \((x,\ y)\) とします。
中心との距離が \(r\) なので、2点間の距離の公式から \(\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r\) です。
両辺を2乗すると、円の方程式になります。
\((x-{\color{#45A3DA}{a}})^2+(y-{\color{#45A3DA}{b}})^2={\color{#E9548E}{r}}^2\)
特に中心が原点のときは \(a=b=0\) なので、\(x^2+y^2=r^2\) となります。
円の方程式は「2点間の距離の公式」を2乗したものなんだよ！
中心と半径から円の方程式を求める
点 \((5,\ -3)\) を中心とする半径 \(4\) の円の方程式を求めよ。
中心 \(({\color{#45A3DA}{5}},\ {\color{#45A3DA}{-3}})\)、半径 \({\color{#E9548E}{4}}\) を基本形に代入します。
\(y-(-3)=y+3\) となる符号に注意します。
\({\color{#EE4656}{(x-5)^2+(y+3)^2=16}}\)
円の方程式（一般形）
基本形を展開して整理すると、\(x^2+y^2+lx+my+n=0\) の形になります。
これを円の方程式の一般形といいます。
一般形が与えられたときは、\(x\) と \(y\) についてそれぞれ平方完成して基本形に戻すと、中心と半径が読み取れます。
一般形から中心と半径を求める
方程式 \(x^2+y^2-6x+2y-6=0\) が表す図形を求めよ。
\(x\) の項と \(y\) の項をそれぞれまとめ、平方完成します。
\((x^2-6x)+(y^2+2y)-6=0\)
\((x-3)^2-9+(y+1)^2-1-6=0\)
\((x-{\color{#45A3DA}{3}})^2+(y+{\color{#45A3DA}{1}})^2={\color{#E9548E}{4}}^2\)
よって、この方程式は点 \((3,\ -1)\) を中心とする半径 \(4\) の円を表します。
右辺が正でないとき
平方完成した結果が \((x-a)^2+(y-b)^2=k\) となったとき、\(k>0\) なら円を表します。
ところが、\(k=0\) のときは \(x=a,\ y=b\) しか満たさないので1点を表し、\(k<0\) のときは満たす点がないので図形を表さないことになります。
一般形は、必ずしも円になるとは限らないんだね！
練習問題
次のような円の方程式を求めよ。
(1) 中心が原点、半径が2
(2) 中心が点 \((2,\ 3)\)、半径が5
(3) 中心が点 \((-2,\ 1)\)、半径が \(\sqrt{10}\)
答えを見る
(1) \({\color{#EE4656}{x^2+y^2=4}}\)
(2) \({\color{#EE4656}{(x-2)^2+(y-3)^2=25}}\)
(3) \({\color{#EE4656}{(x+2)^2+(y-1)^2=10}}\)
次の円の中心の座標と半径を求めよ。
(1) \((x-3)^2+(y+2)^2=8\)
(2) \(x^2+(y-1)^2=9\)
答えを見る
(1) 中心 \({\color{#EE4656}{(3,\ -2)}}\)、半径 \({\color{#EE4656}{2\sqrt{2}}}\)
(2) 中心 \({\color{#EE4656}{(0,\ 1)}}\)、半径 \({\color{#EE4656}{3}}\)
2点 \(\mathrm{A}(3,\ 4),\ \mathrm{B}(-1,\ 2)\) を直径の両端とする円について、次の問いに答えよ。
(1) 中心 \(\mathrm{C}\) の座標と半径を求めよ。
(2) 円の方程式を求めよ。
答えを見る
(1) 中心は線分 \(\mathrm{AB}\) の中点であるから \(\left(\frac{3-1}{2},\ \frac{4+2}{2}\right)={\color{#EE4656}{(1,\ 3)}}\)
半径は \(\mathrm{CA}=\sqrt{(3-1)^2+(4-3)^2}={\color{#EE4656}{\sqrt{5}}}\)
(2) \({\color{#EE4656}{(x-1)^2+(y-3)^2=5}}\)
2点 \(\mathrm{A}(-3,\ 2),\ \mathrm{B}(1,\ 6)\) を直径の両端とする円の方程式を求めよ。
答えを見る
中心は線分 \(\mathrm{AB}\) の中点 \((-1,\ 4)\)、半径は \(\sqrt{(1+1)^2+(6-4)^2}=2\sqrt{2}\)
よって \({\color{#EE4656}{(x+1)^2+(y-4)^2=8}}\)
方程式 \((x-a)^2+(y-b)^2=k\) において、\(k=0\) ならば、この方程式はどのような図形を表すか。
答えを見る
\((x-a)^2+(y-b)^2=0\) を満たすのは \(x=a,\ y=b\) のときだけである。
よって 点 \((a,\ b)\) を表す。
次の方程式はどのような図形を表すか。
(1) \(x^2+y^2+4x-2y-4=0\)
(2) \(x^2+y^2+6x+8y+12=0\)
答えを見る
(1) \((x+2)^2+(y-1)^2=9\) より 中心 \((-2,\ 1)\)、半径 \(3\) の円
(2) \((x+3)^2+(y+4)^2=13\) より 中心 \((-3,\ -4)\)、半径 \(\sqrt{13}\) の円
まとめ：円の方程式
さて、今回のまとめだよ！
■ [1] 中心 \((a,\ b)\)、半径 \(r\) の円の方程式（基本形）
\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)
■ 特に、原点中心、半径 r の円の方程式
\(x^2+y^2=r^2\)
■ [2] 円の方程式（一般形）
\(x^2+y^2+lx+my+n=0\)
また一つ賢くなった！
一人だと続かない人は、こんな方法もあるよ！
↑前の記事↑
↑次の記事↑