【数学Ⅱ】図形と方程式12：円と直線の位置関係

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

円と直線の位置関係は3通り

円と直線の位置関係には、「異なる2点で交わる」「1点で接する」「共有点をもたない」の3通りがあります。

どれになるかを調べる方法は2つあります。

方法1：中心と直線の距離で調べる

円の中心から直線までの距離 \({\color{#45A3DA}{d}}\) と、半径 \({\color{#E9548E}{r}}\) を比べます。

距離が半径より短ければ、直線は円の内側を通るので2点で交わります。

距離と半径が等しければ接し、距離が半径より長ければ共有点をもちません。

\({\color{#45A3DA}{d}}\) は、点と直線の距離の公式で求められます。

方法2：連立方程式の判別式で調べる

図形どうしの共有点は、2つの方程式を連立したときの実数解にあたります。

そこで、直線の式を円の式に代入して \(x\) の2次方程式をつくり、その判別式 \({\color{#3CB371}{D}}\) の符号で実数解の個数を調べます。

実数解が2個なら2点で交わり、1個（重解）なら接し、0個なら共有点をもちません。

• 異なる2点で交わる：\({\color{#45A3DA}{d}}< {\color{#E9548E}{r}}\)、\({\color{#3CB371}{D}}>0\)
• 1点で接する：\({\color{#45A3DA}{d}}={\color{#E9548E}{r}}\)、\({\color{#3CB371}{D}}=0\)
• 共有点なし：\({\color{#45A3DA}{d}}> {\color{#E9548E}{r}}\)、\({\color{#3CB371}{D}}<0\)

円と直線が接するときの半径を求める

まず方法1で解きます。

円の中心は原点 \((0,\ 0)\) です。

接するのは、中心と直線の距離が半径と等しいときです。

\(\frac{|3\cdot0+0-10|}{\sqrt{3^2+1^2}}={\color{#E9548E}{r}}\)　より　\({\color{#EE4656}{r=\sqrt{10}}}\)

次に方法2で解きます。

直線の式を \(y=-3x+10\) と変形し、円の式に代入します。

\(x^2+(-3x+10)^2=r^2\)　より　\(10x^2-60x+100-r^2=0\)

接するのは、この2次方程式が重解をもつとき、つまり判別式が \(0\) になるときです。

\(r>0\) に注意して解きます。

\(\frac{{\color{#3CB371}{D}}}{4}=(-30)^2-10(100-r^2)=0\)　より　\(r^2=10\)　よって　\({\color{#EE4656}{r=\sqrt{10}}}\)

練習問題

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(1)　\(x^2+(x+1)^2=25\)　より　\(x^2+x-12=0\)　よって \(x=3,\ -4\)

\({\color{#EE4656}{(3,\ 4),\ (-4,\ -3)}}\)

(2)　\(y=4-x\) を代入すると　\(x^2+(4-x)^2=8\)　より　\((x-2)^2=0\)　よって \(x=2\)

\({\color{#EE4656}{(2,\ 2)}}\)

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\(y=2x+m\) を代入すると　\(5x^2+4mx+m^2-5=0\)　…①

\(\frac{D}{4}=(2m)^2-5(m^2-5)=-m^2+25\)

(1)　\(D\geq0\) より　\(m^2\leq25\)　よって　\({\color{#EE4656}{-5\leq m\leq5}}\)

(2)　\(D=0\) より　\(m=\pm5\)　このとき①の重解は \(x=-\frac{2m}{5}\)

\({\color{#EE4656}{m=5}}\) のとき接点 \({\color{#EE4656}{(-2,\ 1)}}\)、\({\color{#EE4656}{m=-5}}\) のとき接点 \({\color{#EE4656}{(2,\ -1)}}\)

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中心 \((0,\ 0)\) と直線の距離は　\(\frac{|-5|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\sqrt{5}\)

(1)　距離と半径が等しいから　\({\color{#EE4656}{r=\sqrt{5}}}\)

(2)　距離が半径より大きいから　\({\color{#EE4656}{0< r<\sqrt{5}}}\)

まとめ：円と直線の位置関係