【数学Ⅱ】図形と方程式14：円外の点から引いた接線の方程式

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

円の外の点から引く接線

円の外にある点から円に接線を引くと、接線は2本引けます。

ここで注意したいのは、与えられた点 \(\mathrm{A}\) は接点ではないということです。

前回の公式 \(x_1x+y_1y=r^2\) は「円上の点」における接線なので、点 \(\mathrm{A}\) の座標をそのまま入れても接線にはなりません。

そこで、まだ分からない接点を文字で \(({\color{#45A3DA}{s}},\ {\color{#45A3DA}{t}})\) とおきます。

そうすれば、接線の方程式は公式から \({\color{#45A3DA}{s}}x+{\color{#45A3DA}{t}}y=r^2\) と書けます。

あとは条件から \(s,\ t\) を決めればよいのです。

接線の方程式と接点を求める

接点を \(({\color{#45A3DA}{s}},\ {\color{#45A3DA}{t}})\) とおくと、接線の方程式は \({\color{#45A3DA}{s}}x+{\color{#45A3DA}{t}}y=5\) です。

この接線は点 \(\mathrm{A}(1,\ 3)\) を通るので、\(x=1,\ y=3\) を代入します。

\({\color{#45A3DA}{s}}+3{\color{#45A3DA}{t}}=5\)　…①

また、接点は円周上の点なので、円の方程式を満たします。

\({\color{#45A3DA}{s}}^2+{\color{#45A3DA}{t}}^2=5\)　…②

①より \(s=5-3t\) です。

これを②に代入すると \(10t^2-30t+20=0\)、つまり \((t-1)(t-2)=0\) となり、\(t=1,\ 2\) です。

それぞれ \(s=2,\ -1\) となります。

\(({\color{#45A3DA}{s}},\ {\color{#45A3DA}{t}})=(2,\ 1),\ (-1,\ 2)\)

これを \(sx+ty=5\) に戻せば、接線の方程式が得られます。

接線 \({\color{#EE4656}{2x+y=5}}\)、接点 \({\color{#EE4656}{(2,\ 1)}}\)

接線 \({\color{#EE4656}{-x+2y=5}}\)、接点 \({\color{#EE4656}{(-1,\ 2)}}\)

練習問題

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接点を \((s,\ t)\) とおくと、接線は \(sx+ty=1\)

点 \((2,\ 1)\) を通るから　\(2s+t=1\)　…①

接点は円上にあるから　\(s^2+t^2=1\)　…②

①より \(t=1-2s\) を②に代入すると　\(5s^2-4s=0\)　より　\(s=0,\ \frac{4}{5}\)

\(s=0\) のとき \(t=1\)　接線 \({\color{#EE4656}{y=1}}\)、接点 \({\color{#EE4656}{(0,\ 1)}}\)

\(s=\frac{4}{5}\) のとき \(t=-\frac{3}{5}\)　接線 \({\color{#EE4656}{4x-3y=5}}\)、接点 \({\color{#EE4656}{\left(\frac{4}{5},\ -\frac{3}{5}\right)}}\)

まとめ：円外の点から引いた接線の方程式