今日の板書はこれ！
■ 2つの円の位置関係（半径 \(r,\ r’\)、中心間の距離 \(d\)）
2円の半径と中心間の距離の関係で分類される。
- 離れている：\({\color{#3CB371}{d}}> r+r’\)（共通接線4本）
- 外接する：\({\color{#3CB371}{d}}=r+r’\)（共通接線3本）
- 2点で交わる：\(|r-r’|< {\color{#3CB371}{d}}< r+r’\)（共通接線2本）
- 内接する：\({\color{#3CB371}{d}}=|r-r’|\)（共通接線1本）
- 一方が他方の内部にある：\({\color{#3CB371}{d}}<|r-r’|\)（共通接線0本）
中心が点 \((6,\ 3)\) である円 \(C\) と、円 \(x^2+y^2=20\) が外接するとき、円 \(C\) の方程式を求めよ。
▼ 解答
円 \(x^2+y^2=20\) は中心 \((0,\ 0)\)、半径 \(2\sqrt{5}\) の円である。
2つの円が外接するとき、中心間の距離と半径の和は等しい。
円 \(C\) の半径を \(r\) とすると \(\sqrt{6^2+3^2}=2\sqrt{5}+r\) より \(r=\sqrt{5}\)
したがって \({\color{#EE4656}{(x-6)^2+(y-3)^2=5}}\)
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2つの円の位置関係は5通り
2つの円の位置関係は、一方の半径 \({\color{#45A3DA}{r}}\)、もう一方の半径 \({\color{#E9548E}{r’}}\)、中心間の距離 \({\color{#3CB371}{d}}\) の関係で、次の5通りに分類できます。
ここでは \(r>r’\) として考えます。
あわせて、2つの円の両方に接する直線（共通接線）が何本引けるかも見ていきます。
離れている（d＞r＋r′）
中心間の距離が半径の和より大きいとき、2つの円は離れていて、共有点をもちません。
共通接線は4本引けます。
外接する（d＝r＋r′）
中心間の距離が半径の和と等しいとき、2つの円は外側で1点だけで接します。
これを外接するといいます。
共通接線は3本で、そのうち1本は接点を通ります。
2点で交わる（|r−r′|＜d＜r＋r′）
中心間の距離が半径の和より小さく、半径の差より大きいとき、2つの円は2点で交わります。
共通接線は2本です。
2つの中心と交点を結ぶと、3辺が \({\color{#3CB371}{d}},\ {\color{#45A3DA}{r}},\ {\color{#E9548E}{r’}}\) の三角形ができます。
三角形ができる条件から、\(|r-r’|<d<r+r’\) が出てきます。
内接する（d＝|r−r′|）
中心間の距離が半径の差と等しいとき、小さい円は大きい円の内側で1点だけで接します。
これを内接するといいます。
共通接線は1本です。
一方が他方の内部にある（d＜|r−r′|）
中心間の距離が半径の差より小さいと、小さい円は大きい円の内部に入ってしまい、共有点をもちません。
共通接線は引けません。
「外接は半径の和」「内接は半径の差」とセットで覚えよう！
外接する円の方程式を求める
中心が点 \((6,\ 3)\) である円 \(C\) と、円 \(x^2+y^2=20\) が外接するとき、円 \(C\) の方程式を求めよ。
まず、円 \(x^2+y^2=20\) は中心 \((0,\ 0)\)、半径 \({\color{#45A3DA}{2\sqrt{5}}}\) の円です。
円 \(C\) の半径を \({\color{#E9548E}{r}}\) とおきます。
2つの円が外接するとき、中心間の距離と半径の和は等しくなります。
中心間の距離は、原点と点 \((6,\ 3)\) の距離です。
\({\color{#3CB371}{\sqrt{6^2+3^2}}}={\color{#45A3DA}{2\sqrt{5}}}+{\color{#E9548E}{r}}\)
左辺は \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) なので、\(r=\sqrt{5}\) です。
したがって \({\color{#EE4656}{(x-6)^2+(y-3)^2=5}}\)
中心と半径が分かれば、円の方程式が書けるね！
練習問題
中心が点 \((-3,\ 4)\) である円 \(C\) と、円 \(x^2+y^2=1\) が内接するとき、円 \(C\) の方程式を求めよ。
答えを見る
中心間の距離は \(\sqrt{(-3)^2+4^2}=5\)
\(5\) は円 \(x^2+y^2=1\) の半径 \(1\) より大きいので、円 \(x^2+y^2=1\) が円 \(C\) の内側で接する。
円 \(C\) の半径を \(r\) とすると \(r-1=5\) より \(r=6\)
よって \({\color{#EE4656}{(x+3)^2+(y-4)^2=36}}\)
まとめ：2つの円
さて、今回のまとめだよ！
■ 2つの円の位置関係（半径 \(r,\ r’\)、中心間の距離 \(d\)）
2円の半径と中心間の距離の関係で分類される。
- 離れている：\({\color{#3CB371}{d}}> r+r’\)（共通接線4本）
- 外接する：\({\color{#3CB371}{d}}=r+r’\)（共通接線3本）
- 2点で交わる：\(|r-r’|< {\color{#3CB371}{d}}< r+r’\)（共通接線2本）
- 内接する：\({\color{#3CB371}{d}}=|r-r’|\)（共通接線1本）
- 一方が他方の内部にある：\({\color{#3CB371}{d}}<|r-r’|\)（共通接線0本）
また一つ賢くなった！
一人だと続かない人は、こんな方法もあるよ！
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