【数学B】確率分布01：確率変数と確率分布

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

確率変数と確率分布とは？

確率変数：結果によって値が決まる変数

たとえば、1個のさいころを投げて出る目を \(X\) とします。

投げる前は \(X\) がいくつになるか分かりませんが、投げると \(X\) は 1, 2, 3, 4, 5, 6 のどれか1つに決まります。

このように、試行の結果によって値が定まる変数を 確率変数 といいます。

さらに、\(X\) がそれぞれの値をとる確率も決まっています。

さいころの目はどれも同じ確からしさで出るので、

\(P(X=k)=\frac{1}{6}\)　\((k=1,\ 2,\ \cdots,\ 6)\)

となります。

ここで \(P(X=k)\) は、「\(X=k\) となる確率」を表す記号です。

確率分布：値と確率の対応を表にする

確率変数 \(X\) のとりうる値と、その値をとる確率との対応関係を 確率分布 といいます。

確率分布は、ふつう次のような表で表します。

一般に、\(X\) のとりうる値を \(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n\)、それぞれの値をとる確率を \(p_1,\ p_2,\ \cdots,\ p_n\) とすると、確率分布の表は次のようになります。

確率分布の2つの性質

1つ目は、確率は 0 以上であることです。

\(p_k\geq 0\)　\((k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)\)

2つ目は、確率をすべて足すと 1 になることです。

\(\color{#E9548E}{p_1+p_2+\cdots+p_n=1}\)

\(X\) は、とりうる値のどれか1つに必ず決まります。

そのため、すべての確率を足したものは「必ず起こる事象」の確率になり、確率の総和は1 となります。

表の右端の「計」の欄が 1 になっているのは、このためです。

例題1：2個のさいころの目の和

X のとりうる値を調べよう

2個のさいころの目はそれぞれ 1 から 6 なので、和 \(X\) は最小で \(1+1=2\)、最大で \(6+6=12\) です。

つまり、\(X\) のとりうる値は 2, 3, 4, …, 12 の11個です。

それぞれの値になる確率を求めよう

2個のさいころの目の出方は、全部で \(6\times 6=36\) 通りあり、どれも同じ確からしさで起こります。

目の和を表にまとめると、次のようになります（縦が1個目の目、横が2個目の目です）。

たとえば、和が 7 になるのは、表の中の 7 を数えて 6 通りです。

なので、

\(P(X=7)=\frac{6}{36}\)

となります。

ほかの値についても同じように数えると、\(X\) の確率分布は次の表のようになります。

分子をすべて足すと \(1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36\) なので、計は \(\frac{36}{36}=1\) になっています。

確率を約分せずに分母を 36 にそろえておくと、計が 1 になるかを確かめやすくなります。

P(7≦X≦9) を求めよう

\(P(7\leq X\leq 9)\) は、「\(X\) が 7 以上 9 以下となる確率」です。

\(X\) は整数の値しかとらないので、\(7\leq X\leq 9\) となるのは \(X=7,\ 8,\ 9\) のときです。

そこで、表の \(X=7,\ 8,\ 9\) の確率を足します。

\(P(7\leq X\leq 9)\)

\(=\color{#45A3DA}{\frac{6}{36}}+\color{#45A3DA}{\frac{5}{36}}+\color{#45A3DA}{\frac{4}{36}}\)

\(=\frac{15}{36}\)

\(=\frac{5}{12}\)

練習問題

答えを見る

目の出方は全部で　\(6\times 6=36\)　通りある。

目の差の絶対値を表にまとめると、次のようになる（縦が1個目の目、横が2個目の目）。

\(\begin{array}{c|cccccc} \text{差} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 0 & 1 \\ 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 0 \end{array}\)

\(Y\) のとりうる値は 0, 1, 2, 3, 4, 5 であり、\(Y\) の確率分布は次の表のようになる。

\(\begin{array}{c|cccccc|c} Y & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \text{計} \\ \hline P & \frac{6}{36} & \color{#45A3DA}{\frac{10}{36}} & \color{#45A3DA}{\frac{8}{36}} & \color{#45A3DA}{\frac{6}{36}} & \frac{4}{36} & \frac{2}{36} & 1 \end{array}\)

よって

\(P(1\leq Y\leq 3)\)

\(=\color{#45A3DA}{\frac{10}{36}}+\color{#45A3DA}{\frac{8}{36}}+\color{#45A3DA}{\frac{6}{36}}\)

\(=\frac{24}{36}\)

\(=\frac{2}{3}\)

答えを見る

玉の取り出し方は全部で　\({}_5\mathrm{C}_3=10\)　通りある。

白玉は2個しかないので、\(X\) のとりうる値は 0, 1, 2 である。

\(X=0\) のとき、黒玉を3個取り出すので

\(P(X=0)=\frac{{}_3\mathrm{C}_3}{10}=\frac{1}{10}\)

\(X=1\) のとき、白玉1個と黒玉2個を取り出すので

\(P(X=1)=\frac{{}_2\mathrm{C}_1\times{}_3\mathrm{C}_2}{10}=\frac{6}{10}\)

\(X=2\) のとき、白玉2個と黒玉1個を取り出すので

\(P(X=2)=\frac{{}_2\mathrm{C}_2\times{}_3\mathrm{C}_1}{10}=\frac{3}{10}\)

よって、\(X\) の確率分布は次の表のようになる。

\(\begin{array}{c|ccc|c} X & 0 & 1 & 2 & \text{計} \\ \hline P & \frac{1}{10} & \color{#45A3DA}{\frac{6}{10}} & \color{#45A3DA}{\frac{3}{10}} & 1 \end{array}\)

また

\(P(X\geq 1)=P(X=1)+P(X=2)\)

\(=\color{#45A3DA}{\frac{6}{10}}+\color{#45A3DA}{\frac{3}{10}}\)

\(=\frac{9}{10}\)

まとめ：確率変数と確率分布