【数学B】確率分布02：期待値（平均）

さん

今日の板書はこれ！

期待値（平均）

期待値（平均）　確率変数 \(X\) の値と、その値をとる確率の積の和

\(E(X)=x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n\)

\(=\sum_{k=1}^{n}x_kp_k\)

\(E(X)=m\) とするとき、\(X-m\) を \(X\) の平均からの偏差という。

例題1

1個のさいころを投げて出る目を \(X\) とするとき、確率変数 \(X\) の期待値を求めよ。

▼ 解答

\(P(X=k)=\frac{1}{6}\)　\((k=1,\ 2,\ \cdots,\ 6)\)　であるから

\(E(X)=1\times\frac{1}{6}+2\times\frac{1}{6}+\cdots+6\times\frac{1}{6}\)

\(=(1+2+3+4+5+6)\times\frac{1}{6}\)

\(=21\times\frac{1}{6}\)

\(=\frac{7}{2}\)

生徒

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期待値（平均）とは？
例題1：さいころの目の期待値
練習問題
まとめ：期待値（平均）

期待値（平均）とは？

さん

前回は、確率変数がとる値と、その値になる確率の対応（確率分布）を表にまとめたね。今回は、その表から「平均するといくつになるか」を求めるよ！

生徒

平均なら、全部足して個数で割ればいいんじゃないですか？

さん

いい発想だね！実はその考え方を確率で言いかえたものが期待値なんだ。くじで考えてみよう！

くじの賞金の平均を考える

10本のくじがあり、1等は500円が1本、2等は100円が3本、残りの6本ははずれで0円だとします。

このくじを1本引いたとき、もらえる賞金は平均するといくらになるでしょうか。

ここでは、ふつうの平均の考え方と、確率を使った期待値の考え方の2通りで求めて、結果を比べてみます。

平均の考え方

生徒

賞金は500円、100円、0円の3種類だから、足して3で割ればいいですか？

\(\frac{500+100+0}{3}=200\)

しかし、これは正しい平均ではありません。

0円のくじは6本もあるのに、1本しかない500円と同じ「1回分」として数えてしまっているからです。

正しく求めるには、くじ10本の賞金を1本ずつすべて足して、本数の10で割ります。

\(\frac{500+100+100+100+0+0+0+0+0+0}{10}\)

同じ金額をまとめて書くと、次のようになります。

\(=\frac{500\times 1+100\times 3+0\times 6}{10}\)

\(=\frac{800}{10}\)

\(=80\)

よって、1本あたりの賞金の平均は80円です。

さん

200円と80円では、ずいぶん違うね。本数の多い0円が、平均を下に引っぱっているんだ。本数が多い金額ほど、平均に強く効いてくるんだよ！

期待値の考え方

次は、確率を使って考えます。

このくじを1本引いたときにもらえる賞金を \(X\) 円として、\(X\) の確率分布を表にしてみます。

500円が当たるのは10本中1本なので、その確率は \(\frac{1}{10}\) です。

同じように考えると、表は次のようになります。

\(\begin{array}{c|ccc|c} X & \color{#3CB371}{500} & \color{#3CB371}{100} & \color{#3CB371}{0} & \text{計} \\ \hline P & \color{#E9548E}{\frac{1}{10}} & \color{#E9548E}{\frac{3}{10}} & \color{#E9548E}{\frac{6}{10}} & 1 \end{array}\)

ここで、平均の考え方で使った式を、分母の10をそれぞれの項に分けて書きかえてみます。

\(\frac{500\times 1+100\times 3+0\times 6}{10}\)

\(=500\times\color{#E9548E}{\frac{1}{10}}+100\times\color{#E9548E}{\frac{3}{10}}+0\times\color{#E9548E}{\frac{6}{10}}\)

\(=80\)

ここに出てきた \(\frac{1}{10}\)、\(\frac{3}{10}\)、\(\frac{6}{10}\) は、表の確率とまったく同じです。

つまり、値×確率をすべて足すと、平均が求められます。

このとき確率は、それぞれの値が平均にどれだけ効くかを表す「重み」の役割をしています。

このように、値に確率の重みを付けて求めた平均を加重平均といいます。

期待値は、確率を重みにした加重平均なのです。

生徒

確率が重みになっているから、本数の多い0円がちゃんと平均に効いてくるんですね！

さん

その通り！数学Ⅰの「データの分析」で、度数分布表から平均を求めたのと同じ考え方だよ。相対度数のかわりに確率を使っているんだ。

期待値の定義

このことを一般の確率変数で考えます。

確率変数 \(X\) の確率分布が次の表で与えられているとします。

\(\begin{array}{c|cccc|c} X & x_1 & x_2 & \cdots & x_n & \text{計} \\ \hline P & p_1 & p_2 & \cdots & p_n & 1 \end{array}\)

このとき、値と確率の積をすべて足した値を、\(X\) の期待値または平均といい、\(E(X)\) で表します。

\(E(X)=x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n\)

\(=\sum_{k=1}^{n}x_kp_k\)

\(E\) は期待値を表す英語 Expectation の頭文字です。

さん

和の記号 Σ を使うと、「k 番目の値×k 番目の確率」を k=1 から n まで足す、と短く書けるよ！

平均からの偏差

期待値 \(E(X)\) は平均とも呼ばれるので、\(m\)（mean の頭文字）とおくことがあります。

\(E(X)=m\) とするとき、\(X-m\) を \(X\) の平均からの偏差といいます。

偏差は、確率変数の値が平均からどれだけ離れているかを表しています。

たとえば先ほどのくじでは \(m=80\) なので、1等の500円の偏差は　\(500-80=420\)　となり、はずれの0円の偏差は　\(0-80=-80\)　となります。

さん

偏差は、次回の「分散」で散らばり具合を測るときに使うよ。ここでは言葉の意味を押さえておこう！

例題1：さいころの目の期待値

例題1

1個のさいころを投げて出る目を \(X\) とするとき、確率変数 \(X\) の期待値を求めよ。

さん

まずは確率分布を確認しよう！

さいころの目は1から6までどれも同じ確からしさで出るので、確率はすべて \(\frac{1}{6}\) です。

\(P(X=k)=\color{#E9548E}{\frac{1}{6}}\)　\((k=1,\ 2,\ \cdots,\ 6)\)

\(\begin{array}{c|cccccc|c} X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \text{計} \\ \hline P & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & 1 \end{array}\)

あとは定義どおり、値×確率をすべて足します。

\(E(X)=1\times\frac{1}{6}+2\times\frac{1}{6}+\cdots+6\times\frac{1}{6}\)

どの項にも \(\frac{1}{6}\) が掛かっているので、\(\frac{1}{6}\) でくくります。

\(=(1+2+3+4+5+6)\times\frac{1}{6}\)

\(=21\times\frac{1}{6}\)

\(=\frac{7}{2}\)