【数学Ⅱ】積分11：接線と面積

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

曲線と接線で囲まれた部分の面積とは？

求め方の流れ

曲線と接線で囲まれた部分の面積は、次の3つの手順で求めます。

• 接線の方程式を求める。
• 曲線と接線の共有点の \(x\) 座標を求める。接点の \(x\) 座標は必ず解の1つになる。
• （上の関数）−（下の関数）を定積分して、面積を求める。

例題1：曲線と接線で囲まれた部分の面積

(1) 接線の方程式を求めよう

\(y=x^3-4x\) を微分すると、　\(y’=3x^2-4\)

点 \(\mathrm{A}\) の \(x\) 座標は \(1\) なので、接線の傾きは

\(3\cdot 1^2-4=-1\)　となります。

点 \(\mathrm{A}(1,\ -3)\) を通り、傾きが \(-1\) の直線なので、

\(y-(-3)=-(x-1)\)

よって、接線の方程式は　\(y=-x-2\)　です。

(2) 共有点の x 座標を求めよう

\(y=x^3-4x\) と \(y=-x-2\) から \(y\) を消去すると、

\(\color{#EE4656}{x^3-4x}=\color{#45A3DA}{-x-2}\)

\(x^3-3x+2=0\)　となります。

接点 \(\mathrm{A}\) は、曲線上にも接線上にもある点です。

だから \(x=1\) を代入すると、曲線の式と接線の式は同じ値（どちらも \(-3\)）になります。

実際に、　\(1^3-3\cdot 1+2=0\)　です。

解の1つが \(x=1\) とわかっているので、左辺は \(x-1\) で割り切れます。

組立除法などで割り算をすると、

\((x-1)(x^2+x-2)=0\)

さらに　\(x^2+x-2=(x-1)(x+2)\)　なので、

\((x-1)^2(x+2)=0\)

よって、　\(x=-2,\ 1\)　です。

どちらが上かを確かめよう

\(-2\leq x\leq 1\) の範囲では、曲線が上、接線が下にあります。

式で確かめることもできます。

\((\color{#EE4656}{x^3-4x})-(\color{#45A3DA}{-x-2})=(x-1)^2(x+2)\)

\(-2\leq x\leq 1\) のとき、\((x-1)^2\geq 0\)、\(x+2\geq 0\) なので、この値は \(0\) 以上になります。

解いてみよう

（上の関数）−（下の関数）を定積分すると、

\(\color{#E9548E}{S}=\int_{-2}^1\{(\color{#EE4656}{x^3-4x})-(\color{#45A3DA}{-x-2})\}\,dx\)

\(=\int_{-2}^1 (x^3-3x+2)\,dx\)

\(=\left[\frac{1}{4}x^4-\frac{3}{2}x^2+2x\right]_{-2}^1\)

\(=\frac{1}{4}(1-16)-\frac{3}{2}(1-4)+2(1+2)\)

\(=-\frac{15}{4}+\frac{9}{2}+6\)

\(=\frac{27}{4}\)

練習問題

まとめ：接線と面積