【数学Ⅱ】積分12：(x+a)ⁿ の積分

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

(x+a)ⁿ の積分とは？

∫xⁿ dx の公式と見比べよう

\((x+a)^n\) の積分は、すでに知っている \(\int x^n\,dx\) の公式と見比べると分かりやすくなります。

確かめよう①：展開して計算する

\((x+1)^2\) を展開してから積分します。

\(\int_0^1 (x+1)^2\,dx\)

\(=\int_0^1 (x^2+2x+1)\,dx\)

\(=\left[\frac{1}{3}x^3+x^2+x\right]_0^1\)

\(=\frac{1}{3}+1+1\)

\(=\frac{7}{3}\)

確かめよう②：公式を使って計算する

今度は、かたまり \(\color{#3CB371}{x+1}\) をばらさずに、公式を使って積分します。

\(\int_0^1 (\color{#3CB371}{x+1})^2\,dx\)

\(=\left[\color{#F39800}{\frac{1}{3}}(\color{#3CB371}{x+1})^{\color{#F39800}{3}}\right]_0^1\)

\(=\frac{1}{3}\cdot 2^3-\frac{1}{3}\cdot 1^3\)

\(=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}\)

\(=\frac{7}{3}\)

どちらで計算しても、同じ \(\frac{7}{3}\) になりました。

例題1：放物線と接線と y 軸で囲まれた部分の面積

接線の方程式を求めよう

\(y’=2x\)　より、接線 \(\ell\) の傾きは　\(2\cdot 1=2\)　です。

よって、接線 \(\ell\) の方程式は　\(y=2(x-1)+1\)　より　\(y=2x-1\)　となります。

どちらが上かを確かめよう

囲まれた部分は、\(y\) 軸（\(x=0\)）から接点（\(x=1\)）までの範囲です。

\(0\leq x\leq 1\) では、放物線が接線の上にあります。

放物線と接線は、接点以外では交わらないので、放物線がずっと上にあります。

解いてみよう

\(\color{#E9548E}{S}=\int_0^1\{\color{#EE4656}{x^2}-(\color{#45A3DA}{2x-1})\}\,dx\)

\(=\int_0^1 (x^2-2x+1)\,dx\)

\(=\int_0^1 (\color{#3CB371}{x-1})^2\,dx\)

\(=\left[\color{#F39800}{\frac{1}{3}}(\color{#3CB371}{x-1})^{\color{#F39800}{3}}\right]_0^1\)

\(=\frac{1}{3}(1-1)^3-\frac{1}{3}(0-1)^3\)

\(=0-\frac{1}{3}\cdot(-1)\)

\(=\frac{1}{3}\)

展開して計算した場合と比べてみよう

展開したまま積分すると、次のようになります。

\(\int_0^1 (x^2-2x+1)\,dx\)

\(=\left[\frac{1}{3}x^3-x^2+x\right]_0^1\)

\(=\frac{1}{3}-1+1\)

\(=\frac{1}{3}\)

答えは同じですが、展開すると項が3つになり、代入する数も増えます。

接点の \(x\) 座標が負の数や分数になると、展開した式に代入する計算は大変になりますが、かたまりのまま積分すれば、接点を代入した項は 0 になって消えます。

練習問題

まとめ：(x+a)ⁿ の積分