【数学Ⅱ】式と証明01：3次式の展開公式

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

3乗の展開公式

数学Ⅰでは、\(({\color{#E9548E}{a}}+{\color{#45A3DA}{b}})^2={\color{#E9548E}{a}}^2+2{\color{#E9548E}{a}}{\color{#45A3DA}{b}}+{\color{#45A3DA}{b}}^2\) のような2乗の展開公式を使ってきました。

この記事では、その次の段階として、3乗の展開公式を学びます。

\(({\color{#E9548E}{a}}+{\color{#45A3DA}{b}})^3=({\color{#E9548E}{a}}+{\color{#45A3DA}{b}})^2({\color{#E9548E}{a}}+{\color{#45A3DA}{b}})\) と考えて、2乗の展開公式を使ってから残りの \(({\color{#E9548E}{a}}+{\color{#45A3DA}{b}})\) を掛けます。

まずは数字で試してみましょう。

\(11^3\) を、\(11=\)\(10\)\(+\)\(1\) と分けて計算してみます。

\(({\color{#E9548E}{10}}+{\color{#45A3DA}{1}})^3={\color{#E9548E}{10}}^3+3\cdot {\color{#E9548E}{10}}^2\cdot {\color{#45A3DA}{1}}+3\cdot {\color{#E9548E}{10}}\cdot {\color{#45A3DA}{1}}^2+{\color{#45A3DA}{1}}^3\)

\(=1000+300+30+1=1331\)

実際に \(11\times 11\times 11\) を計算しても \(1331\) になるので、この分け方で正しく計算できていることが分かります。

差の3乗は、\(b\) を \(-b\) に置きかえれば得られます。

\((-b)^2=b^2\)、\((-b)^3=-b^3\) となるので、符号が \(+\) と \(-\) で交互に並びます。

\(({\color{#E9548E}{a}}-{\color{#45A3DA}{b}})^3={\color{#E9548E}{a}}^3+3{\color{#E9548E}{a}}^2(-{\color{#45A3DA}{b}})+3{\color{#E9548E}{a}}(-{\color{#45A3DA}{b}})^2+(-{\color{#45A3DA}{b}})^3\)

\(={\color{#E9548E}{a}}^3-3{\color{#E9548E}{a}}^2{\color{#45A3DA}{b}}+3{\color{#E9548E}{a}}{\color{#45A3DA}{b}}^2-{\color{#45A3DA}{b}}^3\)

3乗の展開公式

\(({\color{#E9548E}{a}}+{\color{#45A3DA}{b}})^3={\color{#E9548E}{a}}^3+3{\color{#E9548E}{a}}^2{\color{#45A3DA}{b}}+3{\color{#E9548E}{a}}{\color{#45A3DA}{b}}^2+{\color{#45A3DA}{b}}^3\)

\(({\color{#E9548E}{a}}-{\color{#45A3DA}{b}})^3={\color{#E9548E}{a}}^3-3{\color{#E9548E}{a}}^2{\color{#45A3DA}{b}}+3{\color{#E9548E}{a}}{\color{#45A3DA}{b}}^2-{\color{#45A3DA}{b}}^3\)

右辺の項は、かっこの中の項の組み合わせ

\(({\color{#E9548E}{a}}+{\color{#45A3DA}{b}})^3\) は \(({\color{#E9548E}{a}}+{\color{#45A3DA}{b}})({\color{#E9548E}{a}}+{\color{#45A3DA}{b}})({\color{#E9548E}{a}}+{\color{#45A3DA}{b}})\) のことです。

展開するとは、3つのかっこから \({\color{#E9548E}{a}}\) か \({\color{#45A3DA}{b}}\) を1つずつ選んで掛け、それを全部の選び方について足すことです。

たとえば \({\color{#E9548E}{a}}^2{\color{#45A3DA}{b}}\) になるのは、どのかっこから \({\color{#45A3DA}{b}}\) を選ぶかで3通りあります。

だから \({\color{#E9548E}{a}}^2{\color{#45A3DA}{b}}\) の係数が \(3\) になります。

\({\color{#E9548E}{a}}{\color{#45A3DA}{b}}^2\) も同じように3通りで、\({\color{#E9548E}{a}}^3\) と \({\color{#45A3DA}{b}}^3\) は1通りずつです。

(x+1)³と(2x−y)³を展開する

(1)

\((x+1)^3=x^3+3\cdot x^2\cdot 1+3\cdot x\cdot 1^2+1^3\)

\(=x^3+3x^2+3x+1\)

(2)は、\(-y\) をかたまりのまま入れると、符号のミスが減ります。

a³+b³、a³−b³になる展開公式

次は、展開すると \({\color{#E9548E}{a}}^3+{\color{#45A3DA}{b}}^3\) や \({\color{#E9548E}{a}}^3-{\color{#45A3DA}{b}}^3\) のように2つの項だけが残る式です。

\(({\color{#E9548E}{a}}+{\color{#45A3DA}{b}})({\color{#E9548E}{a}}^2-{\color{#E9548E}{a}}{\color{#45A3DA}{b}}+{\color{#45A3DA}{b}}^2)\) を展開すると、途中の項がきれいに打ち消し合います。

同じように、\(({\color{#E9548E}{a}}-{\color{#45A3DA}{b}})({\color{#E9548E}{a}}^2+{\color{#E9548E}{a}}{\color{#45A3DA}{b}}+{\color{#45A3DA}{b}}^2)\) を展開すると \({\color{#E9548E}{a}}^3-{\color{#45A3DA}{b}}^3\) になります。

3乗の和・差になる積

\(({\color{#E9548E}{a}}+{\color{#45A3DA}{b}})({\color{#E9548E}{a}}^2-{\color{#E9548E}{a}}{\color{#45A3DA}{b}}+{\color{#45A3DA}{b}}^2)={\color{#E9548E}{a}}^3+{\color{#45A3DA}{b}}^3\)

\(({\color{#E9548E}{a}}-{\color{#45A3DA}{b}})({\color{#E9548E}{a}}^2+{\color{#E9548E}{a}}{\color{#45A3DA}{b}}+{\color{#45A3DA}{b}}^2)={\color{#E9548E}{a}}^3-{\color{#45A3DA}{b}}^3\)

1次式と2次式を掛けているので、できあがりは3次式です。

2次式の部分は \({\color{#E9548E}{a}}^2\)、\({\color{#E9548E}{a}}{\color{#45A3DA}{b}}\)、\({\color{#45A3DA}{b}}^2\) の3つの項でできていて、真ん中の \({\color{#E9548E}{a}}{\color{#45A3DA}{b}}\) の符号は1次式の符号と逆になっています。

(x+1)(x²−x+1)を展開する

2つ目のかっこの \(x^2-x+1\) を \(x^2-x\cdot 1+1^2\) と見ると、\({\color{#E9548E}{a}}^2-{\color{#E9548E}{a}}{\color{#45A3DA}{b}}+{\color{#45A3DA}{b}}^2\) の形になっています。

\((x+1)(x^2-x+1)=(x+1)(x^2-x\cdot 1+1^2)\)

\(=x^3+1^3\)

\(=x^3+1\)

練習問題

答えを見る

(1)　\((x+2)^3=x^3+3\cdot x^2\cdot 2+3\cdot x\cdot 2^2+2^3\)

\(=x^3+6x^2+12x+8\)

(2)　\((x-1)^3=x^3-3\cdot x^2\cdot 1+3\cdot x\cdot 1^2-1^3\)

\(=x^3-3x^2+3x-1\)

(3)　\((3a+b)^3=(3a)^3+3\cdot(3a)^2\cdot b+3\cdot 3a\cdot b^2+b^3\)

\(=27a^3+27a^2b+9ab^2+b^3\)

(4)　\((x-2y)^3=x^3-3\cdot x^2\cdot 2y+3\cdot x\cdot(2y)^2-(2y)^3\)

\(=x^3-6x^2y+12xy^2-8y^3\)

答えを見る

(1)　\((x+2)(x^2-x\cdot 2+2^2)=x^3+2^3\)

\(=x^3+8\)

(2)　\((3x-y)\{(3x)^2+3x\cdot y+y^2\}=(3x)^3-y^3\)

\(=27x^3-y^3\)

まとめ：3次式の展開公式