【数学Ⅱ】式と証明02：3次式の因数分解と置き換え

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

3乗の和・差の因数分解

前の記事で学んだ \(({\color{#E9548E}{a}}+{\color{#45A3DA}{b}})({\color{#E9548E}{a}}^2-{\color{#E9548E}{a}}{\color{#45A3DA}{b}}+{\color{#45A3DA}{b}}^2)={\color{#E9548E}{a}}^3+{\color{#45A3DA}{b}}^3\) を右から左へ読むと、3乗の和の因数分解の公式になります。

3乗の和・差の因数分解の公式

[1] 3乗の和・差の因数分解

\({\color{#E9548E}{a}}^3+{\color{#45A3DA}{b}}^3=({\color{#E9548E}{a}}+{\color{#45A3DA}{b}})({\color{#E9548E}{a}}^2-{\color{#E9548E}{a}}{\color{#45A3DA}{b}}+{\color{#45A3DA}{b}}^2)\)

\({\color{#E9548E}{a}}^3-{\color{#45A3DA}{b}}^3=({\color{#E9548E}{a}}-{\color{#45A3DA}{b}})({\color{#E9548E}{a}}^2+{\color{#E9548E}{a}}{\color{#45A3DA}{b}}+{\color{#45A3DA}{b}}^2)\)

符号の並び方には決まりがあります。

1次式の符号は左辺と同じ、2次式の真ん中の符号は逆、最後の \({\color{#45A3DA}{b}}^2\) の前はいつも＋です。

x³+64と27x³−a³を因数分解する

(1)は、\(64=4^3\) と見ると \(a^3+b^3\) の形です。

\(x^3+64=(x+4)(x^2-x\cdot 4+4^2)\)

\(=(x+4)(x^2-4x+16)\)

(2)は、\(27x^3=(3x)^3\) と見ると \(a^3-b^3\) の形です。

\(27x^3-a^3=(3x-a)\{(3x)^2+3x\cdot a+a^2\}\)

\(=(3x-a)(9x^2+3ax+a^2)\)

置き換えを使った因数分解

式の中に同じかたまりがあるときは、それを1つの文字に置き換えると、知っている型が見えてきます。

たとえば \(x^6\) は \((x^3)^2\) なので、\(x^3\) をかたまりと見ることができます。

x⁶−y⁶を因数分解する

\(x^3=X\)，\(y^3=Y\) とおくと、\(x^6-y^6\) は \(X^2-Y^2\) という2乗の差になります。

\(x^6-y^6=X^2-Y^2=(X+Y)(X-Y)\)

\(=(x^3+y^3)(x^3-y^3)\)

元に戻した \(x^3+y^3\) と \(x^3-y^3\) は、さらに3乗の和・差の公式で因数分解できます。

もうこれ以上分けられないところまで続けましょう。

練習問題

答えを見る

(1)　\(x^3-1=x^3-1^3\)

\(=(x-1)(x^2+x+1)\)

(2)　\(x^3+27=x^3+3^3\)

\(=(x+3)(x^2-3x+9)\)

(3)　\(x^3+8a^3=x^3+(2a)^3\)

\(=(x+2a)(x^2-2ax+4a^2)\)

(4)　\(125x^3-y^3=(5x)^3-y^3\)

\(=(5x-y)(25x^2+5xy+y^2)\)

答えを見る

(1)　\(x^6-64=(x^3)^2-8^2=(x^3+8)(x^3-8)\)

\(=(x+2)(x-2)(x^2-2x+4)(x^2+2x+4)\)

(2)　\(x^3=X\) とおくと

\(x^6+7x^3-8=X^2+7X-8=(X+8)(X-1)\)

\(=(x^3+8)(x^3-1)\)

\(=(x+2)(x-1)(x^2-2x+4)(x^2+x+1)\)

まとめ：3次式の因数分解と置き換え