今日の板書はこれ！
■ 分数式
\(A\) を整式、\(B\) を定数でない整式とするとき、\(\frac{A}{B}\) を分数式という。
整式と分数式を合わせて有理式、それ以上約分できない分数式を既約分数式という。
[1] 乗法・除法
分子・分母を因数分解してから約分する。除法は割る式の分子と分母を入れかえて掛ける。
\(\frac{A}{B}\div\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\times\frac{D}{C}\)
[2] 加法・減法
分母を因数分解し、必要最小限の因数で通分してから計算する。
\(\frac{A}{C}+\frac{B}{C}=\frac{A+B}{C}\)
[3] 繁分数式
分母・分子に同じ式を掛けて、分母や分子の中の分数式をなくす。
次の計算をせよ。
(1) \(\frac{x^2-x}{x+1}\times\frac{2}{x-1}\)
(2) \(\frac{x^2+x}{x+2}\div\frac{x+1}{x^2-4}\)
▼ 解答
(1) \({\frac{x^2-x}{x+1}\times\frac{2}{x-1}=\frac{x\cancel{(x-1)}}{x+1}\times\frac{2}{\cancel{x-1}}{\color{#EE4656}{=\frac{2x}{x+1}}}}\)
(2) \({\frac{x^2+x}{x+2}\div\frac{x+1}{x^2-4}=\frac{x\cancel{(x+1)}}{\cancel{x+2}}\times\frac{\cancel{(x+2)}(x-2)}{\cancel{x+1}}{\color{#EE4656}{=x(x-2)}}}\)
次の計算をせよ。
(1) \(\frac{3x}{x+2}+\frac{x}{x+2}\)
(2) \(\frac{3x+2}{x+2}-\frac{x-2}{x+2}\)
(3) \(\frac{2}{x^2-1}-\frac{1}{x^2+x}\)
▼ 解答
(1) \({\frac{3x}{x+2}+\frac{x}{x+2}{\color{#EE4656}{=\frac{4x}{x+2}}}}\)
(2) \({\frac{3x+2}{x+2}-\frac{x-2}{x+2}=\frac{(3x+2)-(x-2)}{x+2}=\frac{2(x+2)}{x+2}{\color{#EE4656}{=2}}}\)
(3) \({\frac{2}{x^2-1}-\frac{1}{x^2+x}=\frac{2}{(x+1)(x-1)}-\frac{1}{x(x+1)}=\frac{2x-(x-1)}{x(x+1)(x-1)}=\frac{x+1}{x(x+1)(x-1)}{\color{#EE4656}{=\frac{1}{x(x-1)}}}}\)
次の式を簡単にせよ。
\(\frac{\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}\)
▼ 解答
分母・分子に \(x\) を掛けると
\({\frac{\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}=\frac{\frac{1}{x}\times x}{\left(1-\frac{1}{x}\right)\times x}{\color{#EE4656}{=\frac{1}{x-1}}}}\)
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分数式とは
\(\frac{1}{x}\) や \(\frac{x+1}{x^2-2}\) のように、分母に文字を含む式を分数式といいます。
正確には、\(A\) を整式、\(B\) を定数でない整式とするとき、\(\frac{A}{B}\) の形の式のことです。
整式と分数式を合わせて有理式といい、それ以上約分できない分数式を既約分数式といいます。
なお、\(\frac{x+1}{2}\) は \(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\) と同じなので、分数式ではなく整式です。
分数式の乗法・除法
分数式の掛け算は、数の分数と同じく「分子どうし・分母どうし」を掛けます。
ただし先に分子・分母を因数分解して約分しておくと、計算がずっと楽になります。
たとえば \(\frac{x^2-1}{x^2+x}\) は、分子・分母を因数分解すると共通な因数 \(x+1\) が見つかります。
\({\frac{x^2-1}{x^2+x}=\frac{\cancel{(x+1)}(x-1)}{x\cancel{(x+1)}}{\color{#EE4656}{=\frac{x-1}{x}}}}\)
割り算は、割る式の分子と分母を入れかえた式を掛けることで、掛け算に直して計算します。
\(\frac{A}{B}\div\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\times\frac{D}{C}\)
分数式の掛け算と割り算をする
次の計算をせよ。
(1) \(\frac{x^2-x}{x+1}\times\frac{2}{x-1}\)
(2) \(\frac{x^2+x}{x+2}\div\frac{x+1}{x^2-4}\)
(1) \({\frac{x^2-x}{x+1}\times\frac{2}{x-1}=\frac{x\cancel{(x-1)}}{x+1}\times\frac{2}{\cancel{x-1}}{\color{#EE4656}{=\frac{2x}{x+1}}}}\)
(2) \({\frac{x^2+x}{x+2}\div\frac{x+1}{x^2-4}=\frac{x\cancel{(x+1)}}{\cancel{x+2}}\times\frac{\cancel{(x+2)}(x-2)}{\cancel{x+1}}{\color{#EE4656}{=x(x-2)}}}\)
約分は、必ず因数分解してからやろう！
分数式の加法・減法
分母が同じなら、分子どうしを足したり引いたりするだけです。
分母が違うときは、通分して分母をそろえます。
数の分数で \(\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\) を計算するとき、\(\frac{6}{24}+\frac{4}{24}\) とするより \(\frac{3}{12}+\frac{2}{12}\) とした方が楽です。
分数式も同じで、分母を因数分解して、必要最小限の因数で通分します。
たとえば \(\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{x^2-x}\) では、分母を因数分解すると \(x(x+1)\) と \(x(x-1)\) になります。
共通な因数 \(x\) は1つでよいので、分母は \(x(x+1)(x-1)\) にそろえます。
\({\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{x(x-1)}=\frac{(x-1)+(x+1)}{x(x+1)(x-1)}=\frac{2x}{x(x+1)(x-1)}{\color{#EE4656}{=\frac{2}{(x+1)(x-1)}}}}\)
分数式の足し算と引き算をする
次の計算をせよ。
(1) \(\frac{3x}{x+2}+\frac{x}{x+2}\)
(2) \(\frac{3x+2}{x+2}-\frac{x-2}{x+2}\)
(3) \(\frac{2}{x^2-1}-\frac{1}{x^2+x}\)
(1) \({\frac{3x}{x+2}+\frac{x}{x+2}{\color{#EE4656}{=\frac{4x}{x+2}}}}\)
(2) \({\frac{3x+2}{x+2}-\frac{x-2}{x+2}=\frac{(3x+2)-(x-2)}{x+2}=\frac{2(x+2)}{x+2}{\color{#EE4656}{=2}}}\)
(3) \({\frac{2}{x^2-1}-\frac{1}{x^2+x}=\frac{2}{(x+1)(x-1)}-\frac{1}{x(x+1)}=\frac{2x-(x-1)}{x(x+1)(x-1)}=\frac{x+1}{x(x+1)(x-1)}{\color{#EE4656}{=\frac{1}{x(x-1)}}}}\)
(2)のように、最後に約分できることもあります。
答えは必ず既約分数式か整式にしておきましょう。
引き算では、分子全体にかっこをつけて符号のミスを防ごう！
繁分数式
分母や分子の中にさらに分数式を含む式を繁分数式といいます。
扱い方は2通りあります。
- （分子）÷（分母）の割り算の形にして計算する。
- 分母・分子に同じ式を掛けて、中の分数式をなくす。
多くの場合、2つ目の方法の方が計算が短くすみます。
たとえば \(\frac{\frac{2}{x}}{1+\frac{2}{x}}\) は、分母・分子に \(x\) を掛けると、中の分数式が一度に消えます。
\({\frac{\frac{2}{x}}{1+\frac{2}{x}}=\frac{\frac{2}{x}\times x}{\left(1+\frac{2}{x}\right)\times x}{\color{#EE4656}{=\frac{2}{x+2}}}}\)
繁分数式を簡単にする
次の式を簡単にせよ。
\(\frac{\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}\)
分母・分子に \(x\) を掛けると
\({\frac{\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}=\frac{\frac{1}{x}\times x}{\left(1-\frac{1}{x}\right)\times x}{\color{#EE4656}{=\frac{1}{x-1}}}}\)
練習問題
次の分数式を約分せよ。
(1) \(\frac{15ab^4}{6a^3b^2}\)
(2) \(\frac{x^2-9}{x^2+7x+12}\)
(3) \(\frac{x^2-2x-3}{2x^2-7x+3}\)
答えを見る
(1) \(\frac{5b^2}{2a^2}\)
(2) \({\frac{x^2-9}{x^2+7x+12}=\frac{\cancel{(x+3)}(x-3)}{\cancel{(x+3)}(x+4)}{\color{#EE4656}{=\frac{x-3}{x+4}}}}\)
(3) \({\frac{x^2-2x-3}{2x^2-7x+3}=\frac{\cancel{(x-3)}(x+1)}{(2x-1)\cancel{(x-3)}}{\color{#EE4656}{=\frac{x+1}{2x-1}}}}\)
次の式を計算せよ。
(1) \(\frac{2x}{x+3}+\frac{x+9}{x+3}\)
(2) \(\frac{3x+1}{x-2}-\frac{2x-3}{x-2}\)
(3) \(\frac{2x^2}{x-1}-\frac{x+1}{x-1}\)
答えを見る
(1) \({\frac{2x}{x+3}+\frac{x+9}{x+3}=\frac{3x+9}{x+3}=\frac{3(x+3)}{x+3}{\color{#EE4656}{=3}}}\)
(2) \({\frac{3x+1}{x-2}-\frac{2x-3}{x-2}=\frac{(3x+1)-(2x-3)}{x-2}{\color{#EE4656}{=\frac{x+4}{x-2}}}}\)
(3) \({\frac{2x^2}{x-1}-\frac{x+1}{x-1}=\frac{2x^2-x-1}{x-1}=\frac{(2x+1)(x-1)}{x-1}{\color{#EE4656}{=2x+1}}}\)
次の式を計算せよ。
(1) \(\frac{2}{x+1}+\frac{3}{x-2}\)
(2) \(\frac{x}{x+1}+\frac{3x-1}{x^2-2x-3}\)
(3) \(\frac{4x}{x^2-4}-\frac{3x+4}{x^2+3x+2}\)
答えを見る
(1) \({\frac{2}{x+1}+\frac{3}{x-2}=\frac{2(x-2)+3(x+1)}{(x+1)(x-2)}{\color{#EE4656}{=\frac{5x-1}{(x+1)(x-2)}}}}\)
(2) \({\frac{x}{x+1}+\frac{3x-1}{(x+1)(x-3)}=\frac{x(x-3)+(3x-1)}{(x+1)(x-3)}=\frac{x^2-1}{(x+1)(x-3)}=\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-3)}{\color{#EE4656}{=\frac{x-1}{x-3}}}}\)
(3) \({\frac{4x}{(x+2)(x-2)}-\frac{3x+4}{(x+1)(x+2)}=\frac{4x(x+1)-(3x+4)(x-2)}{(x+2)(x-2)(x+1)}=\frac{x^2+6x+8}{(x+2)(x-2)(x+1)}=\frac{(x+2)(x+4)}{(x+2)(x-2)(x+1)}{\color{#EE4656}{=\frac{x+4}{(x-2)(x+1)}}}}\)
次の式を、2通りの方法で簡単にし、それらの方法を比較せよ。
\(\frac{1+\frac{3}{x-1}}{1+\frac{1}{x+1}}\)
答えを見る
【割り算の形にする方法】分子は \(\frac{x+2}{x-1}\)，分母は \(\frac{x+2}{x+1}\) である。
\({\frac{x+2}{x-1}\div\frac{x+2}{x+1}=\frac{x+2}{x-1}\times\frac{x+1}{x+2}{\color{#EE4656}{=\frac{x+1}{x-1}}}}\)
【分母・分子に \((x-1)(x+1)\) を掛ける方法】
\({\frac{(x-1)(x+1)+3(x+1)}{(x-1)(x+1)+(x-1)}=\frac{(x+1)(x+2)}{(x-1)(x+2)}{\color{#EE4656}{=\frac{x+1}{x-1}}}}\)
前者は分子・分母をそれぞれ1つの分数式にまとめる手間がかかる。後者は一度に分数式をなくせるが、掛けた後の展開と因数分解が必要になる。
\(A=1+\frac{1}{x}\)，\(B=x-\frac{1}{x}\) のとき、\(\frac{A}{B}\) を簡単にせよ。
答えを見る
\(A=\frac{x+1}{x}\)，\(B=\frac{x^2-1}{x}=\frac{(x+1)(x-1)}{x}\) である。
\({\frac{A}{B}=\frac{x+1}{x}\times\frac{x}{(x+1)(x-1)}{\color{#EE4656}{=\frac{1}{x-1}}}}\)
まとめ：分数式の計算
さて、今回のまとめだよ！
■ 分数式
\(A\) を整式、\(B\) を定数でない整式とするとき、\(\frac{A}{B}\) を分数式という。
整式と分数式を合わせて有理式、それ以上約分できない分数式を既約分数式という。
[1] 乗法・除法
分子・分母を因数分解してから約分する。除法は割る式の分子と分母を入れかえて掛ける。
\(\frac{A}{B}\div\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\times\frac{D}{C}\)
[2] 加法・減法
分母を因数分解し、必要最小限の因数で通分してから計算する。
\(\frac{A}{C}+\frac{B}{C}=\frac{A+B}{C}\)
[3] 繁分数式
分母・分子に同じ式を掛けて、分母や分子の中の分数式をなくす。
また一つ賢くなった！
一人だと続かない人は、こんな方法もあるよ！
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