【数学Ⅱ】式と証明09：条件付き等式の証明

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

条件付き等式とは

「\(a+b+c=0\) のとき」のように、ある条件のもとで成り立つ等式を条件付き等式といいます。

前の記事の等式は、どんな値でも成り立つ恒等式でしたが、条件付き等式は条件を満たす値のときだけ成り立ちます。

そのため、証明では条件の式を必ず使う必要があります。

いちばん確実なのは、条件の式を使って文字を1つ消去する方法です。

文字を消去すれば、残りの文字について恒等式を示す問題になるので、必ず証明できます。

1文字を消去して証明する

条件 \(a+b+c=0\) を \(c=-(a+b)\) と変形して、\(c\) を消去します。

両辺とも複雑なので、左辺から右辺を引いて \(0\) になることを示します。

\(a+b+c=0\) より　\(c=-(a+b)\)

\(=0\)

よって、与えられた等式は成り立つ。

対称性を生かす

式が \(a\)，\(b\)，\(c\) について対称なときは、文字を消去するより、条件を \(a+b=-c\)，\(b+c=-a\)，\(c+a=-b\) と変形して、そのまま式に入れた方が楽に証明できることがあります。

練習2の(2)で比べてみましょう。

練習問題

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\(a+b+c=0\) より　\(c=-(a+b)\)

（左辺）\({=a^2-a(a+b)=-ab}\)

（右辺）\({=b^2-b(a+b)=-ab}\)

よって、与えられた等式は成り立つ。

答えを見る

(1)

\(c=-(a+b)\) より　\(b+c=-a\)，\(c+a=-b\)

（左辺）\({=ab(a+b)+b\{-(a+b)\}(-a)+\{-(a+b)\}a(-b)+3ab\{-(a+b)\}}\)

\({=ab(a+b)+ab(a+b)+ab(a+b)-3ab(a+b)}\)

\(=0=\)（右辺）

よって、与えられた等式は成り立つ。

(2)

\(a+b=-c\)，\(b+c=-a\)，\(c+a=-b\) であるから

（左辺）\({=ab(-c)+bc(-a)+ca(-b)+3abc=-3abc+3abc}\)

\(=0=\)（右辺）

よって、与えられた等式は成り立つ。

まとめ：条件付き等式の証明