【数学Ⅱ】式と証明10：比例式と等式の証明

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

比例式とは

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) や \(a:b=c:d\) のように、比が等しいことを表す式を比例式といいます。

比例式が条件として与えられた等式の証明も、条件付き等式の一種です。

比例式は、その値を \(k\) とおくのが定石です。

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\) とおくと、\(a=bk\)，\(c=dk\) と表せるので、\(a\) と \(c\) を消去して文字を減らせます。

比例式を k とおいて証明する

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\) とおいて、左辺と右辺をそれぞれ \(k\) で表します。

どちらも \(k\) になれば証明できます。

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\) とおくと　\(a=bk\)，\(c=dk\)

よって、与えられた等式は成り立つ。

練習問題

答えを見る

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\) とおくと　\(a=bk\)，\(c=dk\)

(1)

（左辺）\({=\frac{bk+dk}{b+d}=\frac{(b+d)k}{b+d}=k}\)

（右辺）\({=\frac{2bk-3dk}{2b-3d}=\frac{(2b-3d)k}{2b-3d}=k}\)

よって、与えられた等式は成り立つ。

(2)

（左辺）\({=\frac{b^2k^2+d^2k^2}{b^2+d^2}=\frac{(b^2+d^2)k^2}{b^2+d^2}=k^2}\)

（右辺）\({=\frac{b^2k^2}{b^2}=k^2}\)

よって、与えられた等式は成り立つ。

まとめ：比例式と等式の証明