【高校数学B】「数列」まとめページ｜定義・公式を分かりやすく完全解説

■ 数列と項
数を一列に並べたものを数列といい、並んでいる各数を項という。

数列は \(a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots,\ a_n,\ \cdots\) または \(\{a_n\}\) と表す。

■ 初項・第n項・一般項
\(a_1\) を初項（第1項）、\(a_n\) を第 \(n\) 項という。第 \(n\) 項が \(n\) の式で表されるとき、これを一般項という。

■ 有限数列・無限数列
項の個数が有限である数列を有限数列といい、最後の項を末項、項の個数を項数という。項の個数が無限である数列を無限数列という。

■ 等差数列
隣り合う項の差が等しい数列を等差数列といい、この差を公差という。公差はふつう \(d\) で表す。

■ 等差数列の一般項
初項 \({\color{#3CB371}{a}}\)、公差 \({\color{#45A3DA}{d}}\) の等差数列 \(\{a_n\}\) の一般項は

\(a_n=a+(n-1)d\)

■ 等差数列であることの示し方
隣り合う項の差が一定であることを示す。すなわち、\({\color{#E9548E}{a_{n+1}}}-{\color{#45A3DA}{a_n}}\) が \(n\) によらない定数であることを示す。

■ 等差数列をなす3数の表し方

• [1] 公差形　\(a,\ a+d,\ a+2d\)（初項 \(a\)、公差 \(d\)）
• [2] 対称形　\(a-d,\ a,\ a+d\)（中央の項 \(a\)、公差 \(d\)）
• [3] 平均形　\(a,\ b,\ c\) がこの順に等差数列 \(\Leftrightarrow\) \(2b=a+c\)

\(b-a=c-b\) より　\(2b=a+c\)

■ 等差数列の和
初項 \({\color{#45A3DA}{a}}\)、末項 \({\color{#E9548E}{l}}\)、項数 \({\color{#3CB371}{n}}\) の等差数列の和 \(S_n\) は

\(S_n=\frac{1}{2}n(a+l)\)

初項 \(a\)、公差 \(d\)、項数 \(n\) のとき、\(l=a+(n-1)d\) より

\(S_n=\frac{1}{2}n\{2a+(n-1)d\}\)

■ 等差数列の和の最大
等差数列は、単調に増加するか減少するかのどちらかである。

和 \(S_n\) が最大となるのは、正の項だけをすべて足し合わせたときである。すなわち、\(a_n>0\) となる \(n\) の範囲における和を求めればよい。

■ 等比数列
隣り合う項の比が等しい数列を等比数列といい、この比を公比という。公比はふつう \(r\) で表す。

■ 等比数列の一般項
初項 \({\color{#3CB371}{a}}\)、公比 \({\color{#45A3DA}{r}}\) の等比数列 \(\{a_n\}\) の一般項は

\(a_n=ar^{n-1}\)

■ 等比数列をなす3数の表し方

• [1] 公比形　\(a,\ ar,\ ar^2\)（初項 \(a\)、公比 \(r\)）
• [2] 対称形　\(\frac{a}{r},\ a,\ ar\)（中央の項 \(a\)、公比 \(r\)）
• [3] 平均形　\(a,\ b,\ c\) がこの順に等比数列 \(\Leftrightarrow\) \(b^2=ac\)

\(\frac{b}{a}=\frac{c}{b}\)（比が等しい）より　\(b^2=ac\)

■ 等比数列の和
初項 \(a\)、公比 \(r\) の等比数列の初項から第 \(n\) 項までの和 \(S_n\) は

[1] \(r=1\) のとき　\(S_n=na\)

[2] \(r\neq 1\) のとき　\(S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\)

■ 求め方
\(S_n\) を和の形で書き下し、公比を掛けたものを1つずらして引く。

■ 和の記号Σ
\(\sum\) は単なる和の記号である。

\(\sum\limits_{k=1}^{n}a_k\) は、変数 \(k\) を 1 から \(n\) まで 変化させ、その和をとることを意味する。

\(\sum\limits_{k=1}^{n}a_k=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n\)

■ 数列の和の公式（\(k=1\) から \(k=n\) までの和）

[1] 定数 \(c\) を \(n\) 回足す

\(\sum\limits_{k=1}^{n}c=cn\)

[2] \(1+2+3+\cdots+n\)

\(\sum\limits_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)\)

[3] \(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2\)

\(\sum\limits_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)

[4] \(1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3\)

\(\sum\limits_{k=1}^{n}k^3=\left\{\frac{1}{2}n(n+1)\right\}^2\)

■ Σの性質（\(\sum\) は単なる和）

[1] 定数 \(p\) は \(\sum\) の前に出すことができる

\(\sum\limits_{k=1}^{n}pa_k=p\sum\limits_{k=1}^{n}a_k\)

[2] 和（差）は分割することができる

\(\sum\limits_{k=1}^{n}(a_k\pm b_k)=\sum\limits_{k=1}^{n}a_k\pm\sum\limits_{k=1}^{n}b_k\)

■ 階差数列
数列 \(\{{\color{#EE4656}{a_n}}\}\) の隣り合う項の差 \({\color{#45A3DA}{b_n}}=a_{n+1}-a_n\) を項とする数列 \(\{b_n\}\) を、\(\{a_n\}\) の階差数列という。

■ 階差数列と一般項
\(n\geqq 2\) のとき

\(a_n=a_1+\sum\limits_{k=1}^{n-1}b_k\)

※ \(n=1\) のとき \(\sum\limits_{k=1}^{0}b_k\) となってしまうので、\(n\geqq 2\) とする。

■ 和 \(S_n\) と一般項 \(a_n\) の関係
和 \(S_n\) から一般項を求めることができる。

\(n\geqq 2\) のとき　\(a_n=S_n-S_{n-1}\)

\(n=1\) のとき　\(a_1=S_1\)

※ \(n=1\) のとき \(a_1=S_1-S_0\) となってしまう。

■ 分数の数列の和
部分分数分解を利用し、一般項を差の形にする。

\(\frac{1}{AB}=\frac{1}{B-A}\left(\frac{1}{A}-\frac{1}{B}\right)\)

■ （等差）×（等比）型の数列の和
公比を掛けたものをずらして引くと、等比数列の和に帰着する。

■ 群数列
各群の項数の数列を調べ、第 \(n\) 群の終わりまでの項数の和を求めておく。

第何群の何番目から最初から何番目を求めるか、最初から何番目から第何群の何番目を求める。