【数学B】数列01：数列の項と一般項

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

数列とは？項・初項・一般項の意味

数を一列に並べたものを 数列 といい、並んでいる一つひとつの数を 項 といいます。

たとえば、\(1,\ 5,\ 9,\ 13,\ \cdots\) は、4ずつ増えていく数を並べた数列です。

項には前から順に番号がついていて、最初の項を 初項（第1項）、2番目の項を第2項、\(n\) 番目の項を 第 \(n\) 項 といいます。

項を文字で表すときは、番号を右下に小さく書いて \(a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots,\ a_n,\ \cdots\) のように表し、数列全体をまとめて \(\{a_n\}\) と書くこともあります。

第 \(n\) 項 \(a_n\) が \(n\) の式で表されるとき、その式を 一般項 といいます。

一般項が分かっていれば、番号を代入するだけで、どの項でもすぐに求められます。

初項は第1項なので、一般項の \(n\) に 1 を代入します。

第2項、第3項も同じように \(n\) に 2、3 を代入すれば求められます。

\(a_{{\color{#45A3DA}{1}}}=4\cdot {\color{#45A3DA}{1}}-3=1\)

\(a_{{\color{#45A3DA}{2}}}=4\cdot {\color{#45A3DA}{2}}-3=5\)

\(a_{{\color{#45A3DA}{3}}}=4\cdot {\color{#45A3DA}{3}}-3=9\)

よって、初項から第3項までは \(1,\ 5,\ 9\) となります。

有限数列と無限数列

数列には、項の個数に終わりがあるものと、どこまでも続くものがあります。

項の個数が有限である数列を 有限数列 といい、最後の項を 末項、項の個数を 項数 といいます。

たとえば、有限数列 \(2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10\) は、初項が \(2\)、末項が \(10\)、項数が \(5\) です。

一方、\(1,\ 5,\ 9,\ 13,\ \cdots\) のように項がどこまでも続く数列を 無限数列 といいます。

並んだ数から一般項を推測する

数がいくつか並んでいるだけのときでも、規則を見つければ一般項を推測できます。

分数の数列なら、分子と分母を別々に見るのがコツです。

分子だけを並べると \(1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ \cdots\) となり、番号と同じ数になっているので、分子は \(n\) です。

分母だけを並べると \(2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ \cdots\) となり、2を番号の回数だけ掛けた数になっているので、分母は \(2^n\) です。

よって、一般項は \(a_n=\frac{{\color{#3CB371}{n}}}{{\color{#8E44AD}{2^n}}}\) と推測できます。

練習問題

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(1)　初項から第5項は \(1,\ -1,\ -3,\ -5,\ -7\)、\(a_7=-11,\ a_{10}=-17\)

(2)　初項から第5項は \(2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32\)、\(a_7=128,\ a_{10}=1024\)

(3)　初項から第5項は \(-1,\ 1,\ -1,\ 1,\ -1\)、\(a_7=-1,\ a_{10}=1\)

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(1)　2ずつ増え、\(n=1\) のとき \(0\) となるから　\(a_n=2n-2\)

(2)　分母は奇数 \(2n-1\)、符号は＋から交互に変わるから　\(a_n=\frac{(-1)^{n+1}}{2n-1}\)

まとめ：数列の項と一般項