【数学B】数列03：等差数列であることの証明

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

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等差数列であることはどうやって示す？

等差数列は「隣り合う項の差が等しい数列」でした。

そのため、ある数列が等差数列であることを示すには、\(a_2-a_1=a_3-a_2=a_4-a_3=\cdots\) がすべて同じ値になることを確かめればよいことになります。

しかし、項は無限に続くので、一つひとつ計算して確かめることはできません。

まず、隣り合う2つの項を番号 \(n\) を使って表します。

第 \(n\) 項は \(a_n\)、そのすぐ次の第 \(n+1\) 項は \(a_{n+1}\) と書けます。

たとえば \(n=3\) なら、\(a_3\) と \(a_4\) のことです。

そこで、この2つの項の差 \(a_{n+1}-a_n\) が \(n\) によらない定数になること を示します。

\({\color{#E9548E}{a_{n+1}}}-{\color{#45A3DA}{a_n}}=\)（定数）

\(n\) は 1、2、3、…のどの番号でもよいので、文字のまま計算して定数になれば、\(a_2-a_1,\ a_3-a_2,\ a_4-a_3,\ \cdots\) のどの差も同じ値であることがいえます。

たとえば、一般項が \(a_n=3n-1\) の数列で確かめてみましょう。

\(a_n=3n-1\) の \(n\) を \(n+1\) に置きかえると \(a_{n+1}=3(n+1)-1\) となるので、\(a_{n+1}-a_n=3(n+1)-1-(3n-1)=3\) となり、差はいつも \(3\) です。

番号を横軸、項を縦軸にとって点をかくと、どの点も右へ1進むごとに3ずつ上がるので、点は一直線上に並びます。

一般項 an=pn+q の数列の初項と公差を求める

まず、\(a_{n+1}\) を求めます。

\(a_n=pn+q\) の \(n\) を \(n+1\) に置きかえればよいので、\({\color{#E9548E}{a_{n+1}}}={\color{#E9548E}{p(n+1)+q}}\) です。

これを使って、隣り合う項の差を計算します。

差が \(n\) を含まない定数 \(p\) になったので、数列 \(\{a_n\}\) は等差数列であり、公差は \(p\) です。

また、初項は \(n=1\) を代入して \(a_1=p+q\) となります。

よって　初項は \(p+q\)、公差は \(p\)

練習問題

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(1)　\(a_{n+1}-a_n=\{2(n+1)+5\}-(2n+5)=2\)、\(a_1=7\)　よって　初項 \(7\)、公差 \(2\)

(2)　\(a_{n+1}-a_n=\{-4(n+1)+1\}-(-4n+1)=-4\)、\(a_1=-3\)　よって　初項 \(-3\)、公差 \(-4\)

まとめ：等差数列であることの証明