今日の板書はこれ！
■ 等差数列の和の最大
等差数列は、単調に増加するか減少するかのどちらかである。
和 \(S_n\) が最大となるのは、正の項だけをすべて足し合わせたときである。すなわち、\(a_n>0\) となる \(n\) の範囲における和を求めればよい。
初項が \(20\)、公差が \(-3\) である等差数列の和 \(S_n\) の最大値を求めよ。
▼ 解答
\(\begin{aligned}a_n&=20+(n-1)\cdot(-3)\\[8pt]&=-3n+23\end{aligned}\)
\(a_n>0\) とすると \(-3n+23>0\)
\(n<\frac{23}{3}=7.6\cdots\)
よって、初項から第7項までの和が最大となる。
\(S_7=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot\{2\cdot 20+6\cdot(-3)\}={\color{#EE4656}{77}}\)
したがって、\(S_n\) の最大値は \(77\)
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和が最大になるのは第何項まで足したとき？
初項 \(20\)、公差 \(-3\) の等差数列は \(20,\ 17,\ 14,\ \cdots\) と3ずつ減っていき、どこかで負の数になります。
項の大きさを棒グラフで表してみましょう。
第7項までは 正の項 なので、足すたびに和は大きくなります。
ところが第8項からは 負の項 になり、足すたびに和は小さくなっていきます。
等差数列は一度減り始めたら減り続けるので、正の項だけをすべて足し合わせたときに和が最大 になります。
つまり、\(a_n>0\) となる \(n\) の範囲を調べればよいのです。
「足すと得する項」を全部足して、「足すと損する項」は足さない、ということだね！
一般項が正になる範囲から和の最大値を求める
初項が \(20\)、公差が \(-3\) である等差数列の和 \(S_n\) の最大値を求めよ。
まず、一般項を求めます。
\(\begin{aligned}a_n&=20+(n-1)\cdot(-3)\\[8pt]&=-3n+23\end{aligned}\)
次に、項が正になる範囲を調べます。
\(-3n+23>0\) を解くと \(n<\frac{23}{3}=7.6\cdots\) となるので、項が正になるのは第7項までです。
よって、初項から第7項までの和が最大となります。
\(S_7=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot\{2\cdot 20+6\cdot(-3)\}={\color{#EE4656}{77}}\)
したがって、\(S_n\) の最大値は \(77\) です。
和の公式から \(S_n=\frac{1}{2}n\{40+(n-1)\cdot(-3)\}=-\frac{3}{2}n^2+\frac{43}{2}n\) となり、\(S_n\) は \(n\) の2次関数で表されます。
この2次関数は \(n=\frac{43}{6}=7.1\cdots\) で最大となりますが、\(n\) は自然数なので、いちばん近い \(n=7\) のときに最大となり、結果は一致します。
練習問題
初項が \(50\)、公差が \(-4\) である等差数列の和 \(S_n\) の最大値を求めよ。
答えを見る
\(a_n=-4n+54>0\) より \(n<13.5\) よって第13項までの和が最大となる。
\(S_{13}=\frac{1}{2}\cdot 13\cdot(50+2)=\) \(338\)
初項が \(-100\)、公差が \(7\) である等差数列 \(\{a_n\}\) がある。
(1) 第何項が初めて正の数になるか。
(2) 初項から第何項までの和が最小であるか。また、その和を求めよ。
答えを見る
(1) \(a_n=7n-107>0\) より \(n>\frac{107}{7}=15.2\cdots\) よって 第16項
(2) 第15項までが負の項であるから、第15項までの和が最小となる。
\(a_{15}=-2\) より \(S_{15}=\frac{1}{2}\cdot 15\cdot(-100-2)=\) \(-765\)
まとめ：等差数列の和の最大・最小
さて、今回のまとめだよ！
■ 等差数列の和の最大
等差数列は、単調に増加するか減少するかのどちらかである。
和 \(S_n\) が最大となるのは、正の項だけをすべて足し合わせたときである。すなわち、\(a_n>0\) となる \(n\) の範囲における和を求めればよい。
また一つ賢くなった！
一人だと続かない人は、こんな方法もあるよ！
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