【数学B】数列04：等差数列をなす3数（等差中項）

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

3つの数が等差数列になる条件（等差中項）

\(2,\ 5,\ 8\) は公差3の等差数列です。

まん中の \(5\) に注目すると、\(5-2=8-5\) が成り立ち、両辺を整理すると \(2\cdot 5=2+8\) となります。

つまり、まん中の数は両端の数の平均になっています。

これを文字で考えます。

3つの数 \(a,\ {\color{#EE4656}{b}},\ c\) がこの順に等差数列になるとき、隣り合う項の差が等しいので \(b-a=c-b\) が成り立ちます。

これを整理すると、次の式が得られます。

\(2b=a+c\)　（\(b=\frac{a+c}{2}\)）

このときの \(b\) を 等差中項 といいます。

数直線で見ると、\(b\) は \(a\) と \(c\) のちょうどまん中にあり、どちらとも 公差 \(d\) だけ離れています。

等差数列をなす3数の表し方

等差数列をなす3つの数を文字でおくときは、問題に合わせて次の表し方を使い分けます。

• 公差形　\(a,\ a+{\color{#45A3DA}{d}},\ a+2{\color{#45A3DA}{d}}\)（初項 \(a\)、公差 \(d\)）
• 対称形　\(a-{\color{#45A3DA}{d}},\ a,\ a+{\color{#45A3DA}{d}}\)（中央の項 \(a\)、公差 \(d\)）
• 平均形　\(2{\color{#EE4656}{b}}=a+c\)（\(a,\ b,\ c\) がこの順に等差数列）

3つの数の和が分かっているときは対称形、まん中の数の値を求めたいときは平均形が便利です。

対称形の使い方は、このあとの例題2で確認しましょう。

等差数列をなす3数の問題を解く

平均形で3数 3, b, 3b の b を求める

まん中の項は \(b\) なので、平均形 \(2b=a+c\) に当てはめます。

\(2{\color{#EE4656}{b}}=3+3b\)

これを解くと \(-b=3\) となるので、\(b=-3\) です。

実際に3つの数は \(3,\ -3,\ -9\) となり、公差 \(-6\) の等差数列になっています。

対称形で和と積から3つの数を求める

3つの数の和が分かっているので、まん中の数を \(a\)、公差を \(d\) として、対称形 \(a-d,\ a,\ a+d\) とおきます。

こうおくと、3つの数を足したときに \(d\) が打ち消し合って消えます。

\((a-{\color{#45A3DA}{d}})+a+(a+{\color{#45A3DA}{d}})=15\)

左辺は \(3a\) となるので、\(3a=15\) より \(a=5\) です。

次に、積の条件に \(a=5\) を代入します。

\((5-{\color{#45A3DA}{d}})\cdot 5\cdot(5+{\color{#45A3DA}{d}})=80\)

両辺を \(5\) で割ると \(25-d^2=16\) となり、\(d^2=9\) より \(d=\pm 3\) です。

\(d=3\) のときは \(2,\ 5,\ 8\)、\(d=-3\) のときは \(8,\ 5,\ 2\) となり、どちらも同じ3つの数です。

よって、3つの数は \(2,\ 5,\ 8\) です。

練習問題

答えを見る

(1)　\(2x=3+7\) より　\(x=5\)

(2)　\(\frac{2}{x}=\frac{1}{12}+\frac{1}{6}=\frac{1}{4}\) より　\(x=8\)

まとめ：等差数列をなす3数（等差中項）