今日の板書はこれ！
■ 等差数列の和
初項 \({\color{#45A3DA}{a}}\)、末項 \({\color{#E9548E}{l}}\)、項数 \({\color{#3CB371}{n}}\) の等差数列の和 \(S_n\) は
\(S_n=\frac{1}{2}n(a+l)\)
初項 \(a\)、公差 \(d\)、項数 \(n\) のとき、\(l=a+(n-1)d\) より
\(S_n=\frac{1}{2}n\{2a+(n-1)d\}\)
初項 \(3\)、末項 \(19\)、項数 \(15\) の等差数列の和 \(S\) を求めよ。
▼ 解答
\(S=\frac{1}{2}\cdot {\color{#3CB371}{15}}\cdot({\color{#45A3DA}{3}}+{\color{#E9548E}{19}})={\color{#EE4656}{165}}\)
初項 \(1\)、公差 \(3\) の等差数列の初項から第 \(n\) 項までの和 \(S_n\) を求めよ。
▼ 解答
\(\begin{aligned}S_n&=\frac{1}{2}n\{2\cdot {\color{#45A3DA}{1}}+(n-1)\cdot 3\}\\[8pt]&={\color{#EE4656}{\frac{1}{2}n(3n-1)}}\end{aligned}\)
次の等差数列の和 \(S\) を求めよ。
\(12,\ 15,\ 18,\ \cdots,\ 99\)
▼ 解答
初項 \(12\)、公差 \(3\) であるから、一般項は
\(\begin{aligned}a_n&=12+(n-1)\cdot 3\\[8pt]&=3n+9\end{aligned}\)
\(3n+9=99\) より \({\color{#3CB371}{n=30}}\)
\(S=\frac{1}{2}\cdot {\color{#3CB371}{30}}\cdot({\color{#45A3DA}{12}}+{\color{#E9548E}{99}})={\color{#EE4656}{1665}}\)
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1から100までの和を工夫して求める
\(1+2+3+\cdots+100\) を、順番に足さずに求める方法を考えます。
和を \(S\) とおき、同じ式を逆の順に並べて縦に足してみましょう。
\(\begin{array}{r@{\;\;}c@{\;\;}c@{\;}c@{\;}c@{\;}c@{\;}c@{\;}c@{\;}c@{\;}c@{\;}c} S&=&1&+&2&+&\cdots&+&99&+&100\\ +)\ S&=&100&+&99&+&\cdots&+&2&+&1\\ \hline 2S&=&101&+&101&+&\cdots&+&101&+&101\end{array}\)
縦に並んだ2つの数を足すと、どこも \(101\) になります。
\(101\) が100個並ぶので、\(2S=101\times 100\) です。
これは \(S\) を2回足したものなので、2で割って \(S=5050\) となります。
逆に並べると、大きい数と小さい数がペアになって、和がそろうんだね！
等差数列の和の公式
同じ考え方は、どんな等差数列でも使えます。
たとえば \(2,\ 5,\ 8,\ 11,\ 14\) の和を、棒の長さで表してみましょう。
青い棒が元の数列、ピンクの棒が逆に並べた数列です。
どの縦の列も \(2+14=16\) になるので、全体は高さ16の棒が5本の長方形になり、その面積は \(5\times 16=80\) です。
求める和はその半分なので \(40\) となります。
これを一般化します。
初項 \(a\)、末項 \(l\)、項数 \(n\) の等差数列の和を \(S_n\) とし、逆に並べたものと足すと、どの列も \(a+l\) になり、それが \(n\) 個並びます。
よって \(2S_n=n(a+l)\) となり、次の公式が得られます。
\(S_n=\frac{1}{2}{\color{#3CB371}{n}}({\color{#45A3DA}{a}}+{\color{#E9548E}{l}})\)
さらに、末項は第 \(n\) 項なので \(l=a+(n-1)d\) と表せます。
これを代入すると、公差 \(d\) を使った公式も得られます。
\(S_n=\frac{1}{2}n\{2a+(n-1)d\}\)
末項が分かっていれば1つ目の公式、公差が分かっていれば2つ目の公式を使おう！
公式を使って等差数列の和を求める
初項・末項・項数から和を求める
初項 \(3\)、末項 \(19\)、項数 \(15\) の等差数列の和 \(S\) を求めよ。
初項・末項・項数がそろっているので、\(S_n=\frac{1}{2}n(a+l)\) に代入します。
\(S=\frac{1}{2}\cdot {\color{#3CB371}{15}}\cdot({\color{#45A3DA}{3}}+{\color{#E9548E}{19}})={\color{#EE4656}{165}}\)
初項と公差から第n項までの和を求める
初項 \(1\)、公差 \(3\) の等差数列の初項から第 \(n\) 項までの和 \(S_n\) を求めよ。
末項が分からないので、公差を使う公式 \(S_n=\frac{1}{2}n\{2a+(n-1)d\}\) に、\(a={\color{#45A3DA}{1}},\ d=3\) を代入します。
\(\begin{aligned}S_n&=\frac{1}{2}n\{2\cdot {\color{#45A3DA}{1}}+(n-1)\cdot 3\}\\[8pt]&=\frac{1}{2}n(2+3n-3)\\[8pt]&={\color{#EE4656}{\frac{1}{2}n(3n-1)}}\end{aligned}\)
項数を求めてから和を求める
次の等差数列の和 \(S\) を求めよ。
\(12,\ 15,\ 18,\ \cdots,\ 99\)
初項と末項は分かりますが、項数 が分かりません。
そこで、まず一般項を求め、末項の \(99\) が第何項かを調べます。
初項 \(12\)、公差 \(3\) なので、一般項は次のようになります。
\(\begin{aligned}a_n&=12+(n-1)\cdot 3\\[8pt]&=3n+9\end{aligned}\)
\(3n+9=99\) を解くと \(n=30\) となるので、\(99\) は第30項で、項数は30です。
\(S=\frac{1}{2}\cdot {\color{#3CB371}{30}}\cdot({\color{#45A3DA}{12}}+{\color{#E9548E}{99}})={\color{#EE4656}{1665}}\)
練習問題
次の和 \(S\) を求めよ。
(1) 初項 \(2\)、末項 \(10\)、項数 \(9\) の等差数列の和
(2) 初項 \(10\)、公差 \(-4\) の等差数列の初項から第15項までの和
答えを見る
(1) \(S=\frac{1}{2}\cdot 9\cdot(2+10)=\) \(54\)
(2) \(S=\frac{1}{2}\cdot 15\cdot\{2\cdot 10+14\cdot(-4)\}=\) \(-270\)
初項 \(-1\)、公差 \(3\) の等差数列の初項から第 \(n\) 項までの和 \(S_n\) を求めよ。
答えを見る
\(S_n=\frac{1}{2}n\{2\cdot(-1)+(n-1)\cdot 3\}=\) \(\frac{1}{2}n(3n-5)\)
正の奇数の和 \(1+3+5+\cdots+(2n-1)\) を \(n\) の式で表せ。
答えを見る
初項 \(1\)、末項 \(2n-1\)、項数 \(n\) より \(\frac{1}{2}n\{1+(2n-1)\}=\) \(n^2\)
次の等差数列の和 \(S\) を求めよ。
(1) \(2,\ 6,\ 10,\ \cdots,\ 74\)
(2) \(102,\ 96,\ 90,\ \cdots,\ 6\)
答えを見る
(1) \(a_n=4n-2=74\) より \(n=19\) \(S=\frac{1}{2}\cdot 19\cdot(2+74)=\) \(722\)
(2) \(a_n=-6n+108=6\) より \(n=17\) \(S=\frac{1}{2}\cdot 17\cdot(102+6)=\) \(918\)
まとめ：等差数列の和
さて、今回のまとめだよ！
■ 等差数列の和
初項 \({\color{#45A3DA}{a}}\)、末項 \({\color{#E9548E}{l}}\)、項数 \({\color{#3CB371}{n}}\) の等差数列の和 \(S_n\) は
\(S_n=\frac{1}{2}n(a+l)\)
初項 \(a\)、公差 \(d\)、項数 \(n\) のとき、\(l=a+(n-1)d\) より
\(S_n=\frac{1}{2}n\{2a+(n-1)d\}\)
また一つ賢くなった！
一人だと続かない人は、こんな方法もあるよ！
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