今日の板書はこれ！
■ 等比数列
隣り合う項の比が等しい数列を等比数列といい、この比を公比という。公比はふつう \(r\) で表す。
■ 等比数列の一般項
初項 \({\color{#3CB371}{a}}\)、公比 \({\color{#45A3DA}{r}}\) の等比数列 \(\{a_n\}\) の一般項は
\(a_n=ar^{n-1}\)
初項 \(2\)、公比 \(-3\) の等比数列 \(\{a_n\}\) の初項から第4項までを書け。
▼ 解答
\(2,\ -6,\ 18,\ -54\)
初項 \(-2\)、公比 \(-\frac{1}{3}\) の等比数列 \(\{a_n\}\) の一般項 \(a_n\) を求めよ。また、第5項を求めよ。
▼ 解答
\(a_n={\color{#EE4656}{-2\left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}}}\)
\(\begin{aligned}a_5&=-2\left(-\frac{1}{3}\right)^{4}\\[8pt]&={\color{#EE4656}{-\frac{2}{81}}}\end{aligned}\)
第4項が \(24\)、第6項が \(96\) である等比数列 \(\{a_n\}\) の一般項 \(a_n\) を求めよ。
▼ 解答
初項を \(a\)、公比を \(r\) とおくと
\({\color{#E9548E}{ar^3}}={\color{#E9548E}{24}}\) …① \(ar^5=96\) …②
②より \({\color{#E9548E}{ar^3}}\cdot r^2=96\) ①を代入して \({\color{#E9548E}{24}}r^2=96\)
\(r^2=4\) より \(r=\pm 2\)
[1] \(r={\color{#45A3DA}{2}}\) のとき ①より \(a\cdot {\color{#45A3DA}{2}}^3=24\) \(a=3\) よって \(a_n=3\cdot 2^{n-1}\)
[2] \(r={\color{#45A3DA}{-2}}\) のとき ①より \(a\cdot({\color{#45A3DA}{-2}})^3=24\) \(a=-3\) よって \(a_n=-3\cdot(-2)^{n-1}\)
もっと詳しく願いします！！
現役教員として数学を教えている「さん」と申します。
「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。
「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。
でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。
意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！
勉強してるのに点が取れない人は、こっちも読んでみて！
等比数列とは？公比の意味
\(2,\ 6,\ 18,\ 54,\ \cdots\) のように、前の項に同じ数を掛けて次の項ができる数列を考えます。
このように、隣り合う項の比が等しい数列 を 等比数列 といい、その一定の比を 公比 といいます。
公比はふつう \(r\) で表し、この例では 公比は3 です。
等比数列の一般項 an=ar^(n−1)
初項2、公比3 の等比数列で、第4項を考えてみましょう。
第2項で1回、第3項で2回、第4項で3回公比を掛けるので、第4項は \({\color{#3CB371}{2}}\cdot {\color{#45A3DA}{3}}^3=54\) です。
同じように考えると、第 \(n\) 項は初項に公比を \(n-1\) 回掛けたものになります。
したがって、初項 \(a\)、公比 \(r\) の等比数列の一般項は、次の式で表されます。
\(a_n={\color{#3CB371}{a}}{\color{#45A3DA}{r}}^{n-1}\)
等差数列では公差を \(n-1\) 回「足した」けど、等比数列では公比を \(n-1\) 回「掛ける」から、指数が \(n-1\) になるんだね！
初項と公比から項や一般項を求める
初項2・公比−3の等比数列の項を書き出す
初項 \(2\)、公比 \(-3\) の等比数列 \(\{a_n\}\) の初項から第4項までを書け。
初項 \(2\) に、公比 \(-3\) を次々に掛けていきます。
公比が負なので、符号が交互に変わることに注意しましょう。
\(2,\ 2\cdot(-3)=-6,\ -6\cdot(-3)=18,\ 18\cdot(-3)=-54\)
よって、初項から第4項までは \(2,\ -6,\ 18,\ -54\) です。
分数の公比の等比数列の一般項と第5項を求める
初項 \(-2\)、公比 \(-\frac{1}{3}\) の等比数列 \(\{a_n\}\) の一般項 \(a_n\) を求めよ。また、第5項を求めよ。
公式 \(a_n=ar^{n-1}\) に、初項 \(-2\) と 公比 \(-\frac{1}{3}\) を代入します。
公比が負の数や分数のときは、かっこを付けて累乗することが大切です。
\(a_n={\color{#3CB371}{-2}}\left({\color{#45A3DA}{-\frac{1}{3}}}\right)^{n-1}\)
第5項は、一般項の \(n\) に \(5\) を代入して求めます。
\(\begin{aligned}a_5&=-2\left(-\frac{1}{3}\right)^{4}\\[8pt]&=-2\cdot\frac{1}{81}\\[8pt]&={\color{#EE4656}{-\frac{2}{81}}}\end{aligned}\)
2つの項から初項と公比を求める
第4項が \(24\)、第6項が \(96\) である等比数列 \(\{a_n\}\) の一般項 \(a_n\) を求めよ。
初項を \(a\)、公比を \(r\) とおくと、条件から次の2つの式が成り立ちます。
\({\color{#E9548E}{ar^3}}={\color{#E9548E}{24}}\) …①
\(ar^5=96\) …②
等比数列では、式どうしを引くのではなく、②の中に①の形を見つけるのがコツです。
\(ar^5={\color{#E9548E}{ar^3}}\cdot r^2\) なので、①を代入すると \({\color{#E9548E}{24}}r^2=96\) となり、\(r^2=4\) より \(r=\pm 2\) です。
\(r^2=4\) だから、\(r\) は \(2\) と \(-2\) の2通りあるよ。片方を忘れないように！
\(r={\color{#45A3DA}{2}}\) を①に代入すると、\(a\cdot {\color{#45A3DA}{2}}^3=24\) より \(8a=24\) なので \(a=3\) となり、\(a_n=3\cdot 2^{n-1}\) です。
\(r={\color{#45A3DA}{-2}}\) を①に代入すると、\(a\cdot({\color{#45A3DA}{-2}})^3=24\) より \(-8a=24\) なので \(a=-3\) となり、\(a_n=-3\cdot(-2)^{n-1}\) です。
練習問題
次のような等比数列の初項から第4項までを書け。
(1) 初項 \(1\)、公比 \(3\)
(2) 初項 \(-\frac{1}{2}\)、公比 \(-\frac{1}{2}\)
答えを見る
(1) \(1,\ 3,\ 9,\ 27\)
(2) \(-\frac{1}{2},\ \frac{1}{4},\ -\frac{1}{8},\ \frac{1}{16}\)
次の等比数列の公比を求めよ。また、□に適する数を求めよ。
(1) \(1,\ -2,\ 4,\ □,\ \cdots\)
(2) \(□,\ 12,\ 4,\ □,\ \cdots\)
答えを見る
(1) 公比は \(-2\)、□は \(-8\)
(2) 公比は \(\frac{1}{3}\)、□は順に \(36,\ \frac{4}{3}\)
次のような等比数列 \(\{a_n\}\) の一般項 \(a_n\) を求めよ。また、第5項を求めよ。
(1) 初項 \(2\)、公比 \(3\)
(2) 初項 \(1\)、公比 \(-3\)
(3) 初項 \(-3\)、公比 \(\frac{1}{2}\)
(4) 初項 \(4\)、公比 \(2\)
答えを見る
(1) \(a_n=2\cdot 3^{n-1},\ a_5=162\)
(2) \(a_n=(-3)^{n-1},\ a_5=81\)
(3) \(a_n=-3\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1},\ a_5=-\frac{3}{16}\)
(4) \(a_n=4\cdot 2^{n-1},\ a_5=64\)
次のような等比数列 \(\{a_n\}\) の一般項 \(a_n\) を求めよ。
(1) 第2項が \(6\)、第4項が \(54\)
(2) 第3項が \(-4\)、第5項が \(-16\)
答えを見る
(1) \(ar=6,\ ar^3=54\) より \(r^2=9\)、\(r=\pm 3\)
\(r=3\) のとき \(a=2\)、\(r=-3\) のとき \(a=-2\) よって \(a_n=2\cdot 3^{n-1}\) または \(a_n=-2\cdot(-3)^{n-1}\)
(2) \(ar^2=-4,\ ar^4=-16\) より \(r^2=4\)、\(r=\pm 2\)、どちらも \(a=-1\)
よって \(a_n=-2^{n-1}\) または \(a_n=-(-2)^{n-1}\)
まとめ：等比数列の一般項
さて、今回のまとめだよ！
■ 等比数列
隣り合う項の比が等しい数列を等比数列といい、この比を公比という。公比はふつう \(r\) で表す。
■ 等比数列の一般項
初項 \({\color{#3CB371}{a}}\)、公比 \({\color{#45A3DA}{r}}\) の等比数列 \(\{a_n\}\) の一般項は
\(a_n=ar^{n-1}\)
また一つ賢くなった！
一人だと続かない人は、こんな方法もあるよ！
↑前の記事↑
↑次の記事↑