今日の板書はこれ！
■ 和の記号Σ
\(\sum\) は単なる和の記号である。
\(\sum\limits_{k=1}^{n}a_k\) は、変数 \(k\) を 1 から \(n\) まで 変化させ、その和をとることを意味する。
\(\sum\limits_{k=1}^{n}a_k=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n\)
次の和を、項を書き並べて表せ。
(1) \(\sum\limits_{k=1}^{6}k^2\)
(2) \(\sum\limits_{k=2}^{n}(k+2)(3k-2)\)
(3) \(\sum\limits_{i=1}^{6}i^2\)
(4) \(\sum\limits_{k=2}^{7}(k-1)^2\)
▼ 解答
(1) \(1^2+2^2+3^2+\cdots+6^2\)
(2) \(4\cdot 4+5\cdot 7+6\cdot 10+\cdots+(n+2)(3n-2)\)
(3) \(1^2+2^2+3^2+\cdots+6^2\)
(4) \(1^2+2^2+3^2+\cdots+6^2\)
次の和を求めよ。
(1) \(\sum\limits_{k=1}^{6}3^{k-1}\)
(2) \(\sum\limits_{k=2}^{n-1}2^k\)
▼ 解答
(1) \(3^0+3^1+3^2+\cdots+3^5\) であり、初項 \(1\)、公比 \(3\)、項数 \(6\) の等比数列の和であるから
\(\begin{aligned}\sum\limits_{k=1}^{6}3^{k-1}&=\frac{1\cdot(3^6-1)}{3-1}\\[8pt]&={\color{#EE4656}{364}}\end{aligned}\)
(2) \(2^2+2^3+\cdots+2^{n-1}\) であり、初項 \(2^2=4\)、公比 \(2\)、項数 \(n-2\) の等比数列の和であるから
\(\begin{aligned}\sum\limits_{k=2}^{n-1}2^k&=\frac{4(2^{n-2}-1)}{2-1}\\[8pt]&={\color{#EE4656}{2^n-4}}\end{aligned}\)
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和の記号Σの意味
\(1+2+3+\cdots+100\) のように、たくさんの数の和を毎回書き並べるのは面倒です。
そこで、和を短く表すために使う記号が \(\sum\)（シグマ） です。
たとえば、この和は \(\sum\limits_{k=1}^{100}k\) と表します。
\(\sum\limits_{k=1}^{n}a_k\) は、変数 \(k\) を 1 から \(n\) まで 1ずつ変化させて、\(a_k\) をすべて足すことを表します。
\(\sum\limits_{k=1}^{n}a_k=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n\)
Σは「足し算をまとめて書く記号」にすぎないよ。意味が分からなくなったら、和の形に書き出してみよう！
Σで表された和を書き並べる
次の和を、項を書き並べて表せ。
(1) \(\sum\limits_{k=1}^{6}k^2\)
(2) \(\sum\limits_{k=2}^{n}(k+2)(3k-2)\)
(3) \(\sum\limits_{i=1}^{6}i^2\)
(4) \(\sum\limits_{k=2}^{7}(k-1)^2\)
(1) は、\(k^2\) の \(k\) に 1 から 6 まで を順に代入して足します。
\(1^2+2^2+3^2+\cdots+6^2\)
(2) は、\(k=2\) から始まる ことに注意します。
\(k=2\) のとき \(4\cdot 4\)、\(k=3\) のとき \(5\cdot 7\)、\(k=4\) のとき \(6\cdot 10\) となり、最後は \(k=n\) のときの項です。
\(4\cdot 4+5\cdot 7+6\cdot 10+\cdots+(n+2)(3n-2)\)
(3) は文字が \(i\) に変わっただけなので、(1) と同じ \(1^2+2^2+3^2+\cdots+6^2\) です。
(4) は、\(k=2\) から \(k=7\) まで を \((k-1)^2\) に順に代入して足します。
\(k=2\) のとき \((2-1)^2=1^2\)、\(k=3\) のとき \((3-1)^2=2^2\)、…、\(k=7\) のとき \((7-1)^2=6^2\) となります。
\(\begin{aligned}\sum\limits_{k=2}^{7}(k-1)^2&=(2-1)^2+(3-1)^2+\cdots+(7-1)^2\\[8pt]&=1^2+2^2+3^2+\cdots+6^2\end{aligned}\)
\(k\) から1を引いてから2乗しているので、始まりが \(k=2\) でも、足す数は \(1^2\) から始まります。
そのため、(4) も (1) と同じ和になります。
\(k\) は「何番目か」を数えるための文字なので、\(i\) や \(j\) に変えても和は変わりません。
また、(4) のように番号の範囲をずらしても、式を合わせて変えれば同じ和を表せます。
等比数列の和をΣで求める
次の和を求めよ。
(1) \(\sum\limits_{k=1}^{6}3^{k-1}\)
(2) \(\sum\limits_{k=2}^{n-1}2^k\)
(1) を書き出すと \(3^0+3^1+3^2+\cdots+3^5\) となり、初項 \(1\)、公比 \(3\)、項数 \(6\) の等比数列の和です。
\(\begin{aligned}\sum\limits_{k=1}^{6}3^{k-1}&=\frac{1\cdot(3^6-1)}{3-1}\\[8pt]&=\frac{728}{2}\\[8pt]&={\color{#EE4656}{364}}\end{aligned}\)
(2) を書き出すと \(2^2+2^3+\cdots+2^{n-1}\) です。
項数は、\(k=2\) から \(k=n-1\) までなので \((n-1)-2+1=n-2\) となります。
項数は「上の数 − 下の数 + 1」で数えよう。1を足すのを忘れやすいよ！
よって、初項 \(4\)、公比 \(2\)、項数 \(n-2\) の等比数列の和です。
\(\begin{aligned}\sum\limits_{k=2}^{n-1}2^k&=\frac{4(2^{n-2}-1)}{2-1}\\[8pt]&=2^2\cdot 2^{n-2}-4\\[8pt]&={\color{#EE4656}{2^n-4}}\end{aligned}\)
練習問題
次の和を、項を書き並べて表せ。
(1) \(\sum\limits_{k=1}^{n}(2k-1)\)
(2) \(\sum\limits_{k=3}^{8}2^{k-1}\)
(3) \(\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}\)
答えを見る
(1) \(1+3+5+\cdots+(2n-1)\)
(2) \(2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7\)
(3) \(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n-1}\)
次の和を、和の記号 \(\sum\) を用いて表せ。
(1) \(1+2+3+4+5+6\)
(2) \(1^2+3^2+5^2+7^2+9^2+11^2\)
答えを見る
(1) \(\sum\limits_{k=1}^{6}k\)
(2) \(\sum\limits_{k=1}^{6}(2k-1)^2\)
次の等式が成り立つように、○、□に適する数や式を答えよ。
\(\sum\limits_{k=1}^{n}(k+1)=\sum\limits_{k=○}^{□}k\)
答えを見る
左辺は \(2+3+\cdots+(n+1)\) であるから ○は \(2\)、□は \(n+1\)
次の和を求めよ。
(1) \(\sum\limits_{k=1}^{n}5^{k-1}\)
(2) \(\sum\limits_{k=1}^{n-1}3^k\)
答えを見る
(1) 初項 \(1\)、公比 \(5\)、項数 \(n\) より \(\frac{5^n-1}{4}\)
(2) 初項 \(3\)、公比 \(3\)、項数 \(n-1\) より \(\frac{3(3^{n-1}-1)}{3-1}=\) \(\frac{3^n-3}{2}\)
まとめ：和の記号Σ
さて、今回のまとめだよ！
■ 和の記号Σ
\(\sum\) は単なる和の記号である。
\(\sum\limits_{k=1}^{n}a_k\) は、変数 \(k\) を 1 から \(n\) まで 変化させ、その和をとることを意味する。
\(\sum\limits_{k=1}^{n}a_k=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n\)
また一つ賢くなった！
一人だと続かない人は、こんな方法もあるよ！
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