今日の板書はこれ！
■ 階差数列
数列 \(\{{\color{#EE4656}{a_n}}\}\) の隣り合う項の差 \({\color{#45A3DA}{b_n}}=a_{n+1}-a_n\) を項とする数列 \(\{b_n\}\) を、\(\{a_n\}\) の階差数列という。
■ 階差数列と一般項
\(n\geqq 2\) のとき
\(a_n=a_1+\sum\limits_{k=1}^{n-1}b_k\)
※ \(n=1\) のとき \(\sum\limits_{k=1}^{0}b_k\) となってしまうので、\(n\geqq 2\) とする。
数列 \(\{a_n\}\)：\(1,\ 3,\ 7,\ 13,\ 21,\ \cdots\) の第6項を求めよ。また、一般項 \(a_n\) を求めよ。
▼ 解答
階差数列は \(2,\ 4,\ 6,\ 8,\ \cdots\) であり、その一般項は \({\color{#45A3DA}{b_n=2n}}\) である。
第6項は \(1+(2+4+6+8+10)={\color{#EE4656}{31}}\)
\(n\geqq 2\) のとき
\(\begin{aligned}a_n&=1+\sum\limits_{k=1}^{n-1}{\color{#45A3DA}{2k}}\\[8pt]&=1+2\cdot\tfrac{1}{2}(n-1)n\\[8pt]&=n^2-n+1\end{aligned}\)
\(n=1\) のとき \(1^2-1+1=1\) となり、\(a_1=1\) と一致する。
よって \(a_n=n^2-n+1\)
もっと詳しく願いします！！
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階差数列とは？
\(1,\ 3,\ 7,\ 13,\ 21,\ \cdots\) は、等差数列でも等比数列でもありません。
このように規則がすぐに分からないときは、隣り合う項の差を調べてみます。
差を並べると \(2,\ 4,\ 6,\ 8,\ \cdots\) となり、等差数列が現れました。
数列 \(\{a_n\}\) の隣り合う項の差 \(b_n=a_{n+1}-a_n\) を並べた数列 \(\{b_n\}\) を、\(\{a_n\}\) の 階差数列 といいます。
階差数列から一般項を求める公式
図を見ると、\(a_5\) は、初項の \(1\) に 階差 を4つ足したものになっています。
実際に \(1+(2+4+6+8)=21\) です。
同じように考えると、第 \(n\) 項は初項に階差を \(b_1\) から \(b_{n-1}\) まで、\(n-1\) 個足したものです。
よって、次の公式が成り立ちます。
\({\color{#EE4656}{a_n}}=a_1+\sum\limits_{k=1}^{n-1}{\color{#45A3DA}{b_k}}\) （\(n\geqq 2\)）
項が \(n\) 個並ぶと、すき間（差）は \(n-1\) 個。だから Σ の上が \(n-1\) になるんだね！
\(n=1\) のとき、公式は \(\sum\limits_{k=1}^{0}b_k\) となり、「1番目から0番目まで足す」という意味のない和になってしまいます。
そのため、公式は \(n\geqq 2\) のときだけ使えます。
求めた式が \(n=1\) のときにも成り立つかは、最後に \(n=1\) を代入して、初項と一致するかを確かめます。
一致すれば、すべての \(n\) で使える一般項としてまとめられます。
階差数列を使って一般項を求める
数列 \(\{a_n\}\)：\(1,\ 3,\ 7,\ 13,\ 21,\ \cdots\) の第6項を求めよ。また、一般項 \(a_n\) を求めよ。
階差数列は \(2,\ 4,\ 6,\ 8,\ \cdots\) なので、一般項は \(b_n=2n\) です。
第6項は、初項に階差を5つ足して \(1+(2+4+6+8+10)={\color{#EE4656}{31}}\) となります。
次に、\(n\geqq 2\) のときの一般項を公式で求めます。
\(\begin{aligned}a_n&=1+\sum\limits_{k=1}^{n-1}{\color{#45A3DA}{2k}}\\[8pt]&=1+2\cdot\tfrac{1}{2}(n-1)n\\[8pt]&=n^2-n+1\end{aligned}\)
最後に \(n=1\) のときを確かめます。
\(n^2-n+1\) に \(n=1\) を代入すると \(1\) となり、初項 \(a_1=1\) と一致します。
よって、この式は \(n=1\) のときも成り立ち、一般項は \(a_n=n^2-n+1\) です。
練習問題
階差数列を考えて、次の数列の第6項、第7項を求めよ。
\(1,\ 2,\ 5,\ 10,\ 17,\ \cdots\)
答えを見る
階差数列は \(1,\ 3,\ 5,\ 7,\ \cdots\) であるから、次の差は \(9,\ 11\)
よって 第6項は \(26\)、第7項は \(37\)
階差数列を利用して、次の数列 \(\{a_n\}\) の一般項 \(a_n\) を求めよ。
(1) \(1,\ 2,\ 4,\ 7,\ 11,\ \cdots\)
(2) \(2,\ 3,\ 5,\ 9,\ 17,\ \cdots\)
答えを見る
(1) \(b_n=n\) より、\(n\geqq 2\) のとき \(a_n=1+\frac{1}{2}(n-1)n\) これは \(n=1\) のときも成り立つ。
よって \(a_n=\frac{1}{2}(n^2-n+2)\)
(2) \(b_n=2^{n-1}\) より、\(n\geqq 2\) のとき \(a_n=2+\frac{2^{n-1}-1}{2-1}\) これは \(n=1\) のときも成り立つ。
よって \(a_n=2^{n-1}+1\)
まとめ：階差数列
さて、今回のまとめだよ！
■ 階差数列
数列 \(\{{\color{#EE4656}{a_n}}\}\) の隣り合う項の差 \({\color{#45A3DA}{b_n}}=a_{n+1}-a_n\) を項とする数列 \(\{b_n\}\) を、\(\{a_n\}\) の階差数列という。
■ 階差数列と一般項
\(n\geqq 2\) のとき
\(a_n=a_1+\sum\limits_{k=1}^{n-1}b_k\)
※ \(n=1\) のとき \(\sum\limits_{k=1}^{0}b_k\) となってしまうので、\(n\geqq 2\) とする。
また一つ賢くなった！
一人だと続かない人は、こんな方法もあるよ！
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